f(x) = \arctan\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right) olmak üzere, \tan\big(f(1) + f(2) + f(3) + \d… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \arctan\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)

olmak üzere,

\tan\big(f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(20)\big)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A
$20$
$\frac{10}{11}$ Answer
C
$-\frac{11}{10}$
D
$\frac{19}{21}$
E
$21$

Answer

Doğru cevap olan 10/11 değeri, teleskopik toplam ve tanjant fark formülünün doğru uygulanması ile elde edilir.

Doğru cevap olan 10/11 değeri, genel terimin fark biçiminde yazılmasıyla elde edilen teleskopik toplamın sonucuna tanjant fark formülünün doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

Genel terimin paydasındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak düzenleyin.

\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{(x+1) - x}{1 + x(x+1)}

Ters tanjant fark formülüne benzetmek amacıyla ifadeyi bu şekilde düzenliyoruz.

\arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) = \arctan(a) - \arctan(b)

özdeşliğini genel terime uygulayın.

f(x) = \arctan(x+1) - \arctan(x)

Fonksiyonu ardışık iki terimin farkı biçiminde yazarak teleskopik toplam elde etmek hedeflenmiştir.

x = 1

'den

x = 20

'ye kadar olan terimleri yazarak toplayın.

T = f(1) + f(2) + \dots + f(20) = \arctan(21) - \arctan(1)

Ara terimlerin birbirini sadeleştirmesi sayesinde toplamın sade hali bulunur.

\tan(T) = \tan(\arctan(21) - \arctan(1))

ifadesini hesaplamak için tanjant fark formülünü uygulayın.

\tan(T) = \frac{21 - 1}{1 + 21 \cdot 1} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11}

\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

formülü kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic