Examkin

Question

Difficulty: MediumArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Tanım kümesi gerçel sayılar olan f(x)=∣x−3∣−∣x+5∣f(x) = |x - 3| - |x + 5| fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: -9

Answer

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı -9'dur.
Fonksiyonun kuralları parçalı olarak incelendiğinde, yalnızca [−5,3][-5, 3] aralığında negatif eğimli doğrusal bir fonksiyon (f(x)=−2x−2f(x) = -2x - 2) elde edilir. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralık [−5,3][-5, 3] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı −9-9 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kritik noktaları belirleme
x=−5x = -5 ve x=3x = 3 kritik noktalardır.
Mutlak değerlerin içerisini sıfır yapan noktalar fonksiyonun davranışının değiştiği sınırları belirler.
2
Aralıklara göre fonksiyon kurallarını bulma
x<−5x < -5 için f(x)=8f(x) = 8, −5≤x≤3-5 \le x \le 3 için f(x)=−2x−2f(x) = -2x - 2 ve x>3x > 3 için f(x)=−8f(x) = -8 olur.
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu bölgeleri belirlemek için her alt aralıktaki cebirsel ifadesi elde edilmelidir.
3
Artan/azalanlık incelemesi yapma
Fonksiyon yalnızca [−5,3][-5, 3] aralığında azalandır.
−5≤x≤3-5 \le x \le 3 aralığında fonksiyonun kuralı f(x)=−2x−2f(x) = -2x - 2 olan negatif eğimli bir doğrudur ve bu aralıkta azalan davranışı gösterir. Diğer aralıklarda fonksiyon sabit olduğundan artan veya azalan değildir.
4
Tam sayıların toplamını hesaplama
−5+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1+2+3=−9-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -9
Azalan olunan [−5,3][-5, 3] kapalı aralığındaki tüm tam sayılar toplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir aralıkta x1<x2x_1 < x_2 iken f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) oluyorsa fonksiyon o aralıkta azalandır. Doğrusal fonksiyonlarda eğim negatif ise fonksiyon azalandır.
Rate this question

Topics

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

More questions from this topic