Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu f(x) = \frac{1}{… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

kuralı ile veriliyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık

(-\infty, 3]

aral��ğıdır.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = x^2(x-3)

şeklindedir. Türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıkta fonksiyon azalandır. Her gerçek

x

için

x^2 \geq 0

olduğundan,

x^2(x-3) \leq 0

eşitsizliğinin sağlanması için

x-3 \leq 0

olmalıdır. Buradan

x \leq 3

elde edilir. Bu durum bizi

(-\infty, 3]

aralığına ulaştırır.

Verilen

f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun türevi alınır.

f'(x) = x^3 - 3x^2

elde edilir.

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenmelidir.

Türev fonksiyonunun kökleri bulunur.

f'(x) = x^2(x - 3) = 0

denkleminden

x = 0

(çift katlı kök) ve

x = 3

(tek katlı kök) elde edilir.

İşaret tablosu oluşturmak için türevin sıfır olduğu noktalar (kritik noktalar) belirlenmelidir.

Türev fonksiyonu için işaret tablosu oluşturulur.

x > 3

için

f'(x) > 0

(+),

0 < x < 3

için

f'(x) < 0

(-) ve

x < 0

için

f'(x) < 0

(-) olur.

x = 0

noktası çift katlı kök olduğundan bu noktadan geçerken türevin işareti değişmez.

Türevin negatif veya sıfır olduğu (

f'(x) \leq 0

) aralık belirlenir.

x \in (-\infty, 3]

aralığında

f'(x) \leq 0

olur.

Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.

Türev yardımıyla bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve çift katlı köklerde işaret incelemesi.

Question