Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, mm bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2mx+m2−2m+4f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 4
parabollerinin tepe noktalarının oluşturduğu geometrik yer doğrusu dd doğrusudur.

Bu parabollerden, tepe noktası dd doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta noktasında olan parabolün tepe noktası TT ve yy eksenini kestiği nokta CC olarak belirleniyor.

Buna göre, köşeleri orijin (OO), TT ve CC noktaları olan OTCOTC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. 32\frac{3}{2}Answer
  3. C
    3
  4. D
    72\frac{7}{2}
  5. E
    4

Answer

Köşeleri orijin, parabolün tepe noktası ve y eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı 3/2 birimkaredir.
Doğru olan seçenekteki alan değeri, parabolün tepe noktasının geometrik yerinin doğru şekilde belirlenmesi, orta noktanın doğru hesaplanması (m=1m = 1), bu mm değerine karşılık gelen parabolün yy eksenini kestiği noktanın C(0,3)C(0, 3) olarak bulunması ve köşeleri O(0,0)O(0,0), T(1,2)T(1,2), C(0,3)C(0,3) olan üçgenin alanının 3×12=32\frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2} birimkare olarak elde edilmesiyle bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını mm parametresi cinsinden bulun.
T(m,−2m+4)T(m, -2m+4)
Tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)=−(−2m)/2=mr = -b/(2a) = -(-2m)/2 = m ve ordinatı ise k=f(r)=f(m)=m2−2m2+m2−2m+4=−2m+4k = f(r) = f(m) = m^2 - 2m^2 + m^2 - 2m + 4 = -2m+4 olarak hesaplanır.
2
Tepe noktasının oluşturduğu geometrik yer doğrusunun denklemini elde edin ve bu doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirleyin.
Doğru denklemi d:y=−2x+4d: y = -2x + 4 olup eksenleri kestiği noktalar A(2,0)A(2, 0) ve B(0,4)B(0, 4)'tür.
x=mx = m ve y=−2m+4y = -2m+4 eşitliklerinden mm yok edilerek y=−2x+4y = -2x+4 doğrusu elde edilir. Eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir.
3
Eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta noktasını hesaplayın ve bu noktayı tepe noktası yapan mm değerini bulun.
Orta nokta M(1,2)M(1, 2) ve bu durumda m=1m = 1 olur.
Orta nokta koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır: M=((2+0)/2,(0+4)/2)=(1,2)M = ((2+0)/2, (0+4)/2) = (1, 2). Parabolün tepe noktası bu orta nokta olduğundan T(m,−2m+4)=(1,2)  ⟹  m=1T(m, -2m+4) = (1, 2) \implies m = 1 elde edilir.
4
m=1m=1 için parabolün denklemini yazıp yy eksenini kestiği CC noktasını bulun.
Parabol denklemi f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 ve C(0,3)C(0, 3) olur.
Fonksiyonun yy eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır, bu yüzden f(0)=02−2(0)+3=3f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3 değeri hesaplanır.
5
Köşeleri O(0,0)O(0, 0), T(1,2)T(1, 2) ve C(0,3)C(0, 3) olan OTCOTC üçgeninin alanını hesaplayın.
Alan = 3/23/2 birimkare
Üçgenin tabanı yy ekseni üzerinde [OC][OC] doğru parçası olup uzunluğu 33 birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise T(1,2)T(1, 2) noktasının yy eksenine olan uzaklığı, yani apsisinin mutlak değeri olan 11 birimdir. Alan formülünden Alan=3×12=32\text{Alan} = \frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2} bulunur.

Key Concept

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic