Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡3(x2−6x−1625−x2)f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: 6

Answer

Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için argümanı olan rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir. Pay (x2−6x−16x^2 - 6x - 16) ve paydayı (25−x225 - x^2) sıfır yapan kökler bulunarak işaret tablosu oluşturulduğunda, ifadenin pozitif olduğu en geniş aralık (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8) olarak elde edilir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar −4,−3,6,7-4, -3, 6, 7 olup bunların toplamı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonunun tanım koşulunu belirleme
x2−6x−1625−x2>0\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2} > 0 eşitsizliği çözülmelidir.
Taban pozitif bir sabit (3) olduğundan, sadece argümanın pozitif olması koşulu incelenir.
2
Pay ve paydanın köklerini bulma
Payın kökleri: x=−2x = -2 ve x=8x = 8. Paydanın kökleri: x=−5x = -5 ve x=5x = 5.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.
3
İşaret tablosu hazırlama ve çözüm kümesini bulma
Çözüm kümesi: (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8)
Payın baş katsayısı pozitif (+), paydanın baş katsayısı negatif (-) olduğundan tablonun en sağ bölgesi eksi (-) ile başlar. Tek katlı köklerde işaret değiştirilerek pozitif bölgeler seçilir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları listeleme
Tam sayılar: {−4,−3,6,7}\{-4, -3, 6, 7\}
Açık aralıklardaki tam sayılar belirlenir. Sınır değerleri aralığa dahil edilmez.
5
Tam sayıların toplamını hesaplama
(−4)+(−3)+6+7=6(-4) + (-3) + 6 + 7 = 6
Soruda istenen tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak.

Key Concept

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif (>0>0) olması gerekir.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi