Gerçel say��lar kümesinin, her k \in \mathbb{Z} için x \neq \pi + 2k\pi ve x \neq 3k\pi ko… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel say��lar kümesinin, her $k \in \mathbb{Z}$ için $x \neq \pi + 2k\pi$ ve $x \neq 3k\pi$ koşullarını sağlayan en geniş alt kümesinde tanımlı $f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right)$ fonksiyonunun esas periyodu $6\pi$ radyandır.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur.

Verilen ifade, tanım kümesini ve fonksiyonun esas periyodunu doğru bir şekilde belirtmektedir. Tanjant ve kotanjant terimlerinin ayrı ayrı periyotları

2\pi

3\pi

olup, bu periyotların en küçük ortak katı olan

6\pi

fonksiyonun esas periyodudur. Ayrıca asimptotlar (tanımsızlık noktaları) da doğru belirlenmiştir.

Step-by-Step Solution

Tanım kümesini belirlemek için

f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right)

fonksiyonunu olu��turan terimlerin tanımsız olduğu noktaları bulun.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

terimi

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) noktalarında;

\cot\left(\frac{x}{3}\right)

terimi ise

\frac{x}{3} = k\pi \implies x = 3k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) noktalarında tanımsızdır.

Tanjant fonksiyonu, açının kosinüsünü sıfır yapan noktalarda; kotanjant fonksiyonu ise açının sinüsünü sıfır yapan noktalarda tanımsızdır.

Her iki terimin esas periyodunu ayrı ayrı hesaplayın.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

fonksiyonunun periyodu

T_1 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi

\cot\left(\frac{x}{3}\right)

fonksiyonunun periyodu

T_2 = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi

olarak bulunur.

a \neq 0

olmak üzere,

y = \tan(ax+b)

y = \cot(ax+b)

fonksiyonlarının esas periyodu

\frac{\pi}{|a|}

formülü ile hesaplanır.

İki fonksiyonun farkı ile tanımlanan

f(x)

fonksiyonunun esas periyodunu belirlemek için bireysel periyotların en küçük ortak katını (EKOK) alın.

T = \text{EKOK}(T_1, T_2) = \text{EKOK}(2\pi, 3\pi) = 6\pi

radyandır.

Tanımlı iki periyodik fonksiyonun toplamı veya farkı şeklinde yazılan fonksiyonların periyodu, ayrı ayrı periyotlarının en küçük ortak katıdır.

Key Concept

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanım kümeleri (düşey asimptotları) ile periyotlarının hesaplanması ve birleştirilmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic