Examkin

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

14 questions

All types14Multiple choice3True / False7Numeric4
Question 1Question →
kk pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=3sin⁡2(2kx)−1f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1
g(x)=5cos⁡(k9x)+4g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4
fonksiyonlarının esas periyotları birbirine eşittir.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

k'nin alabileceği pozitif gerçel sayı değeri 6'dır.
Çift dereceli olan birinci fonksiyonun periyodu Tf=kπ2T_f = \frac{k\pi}{2}, tek dereceli olan ikinci fonksiyonun periyodu ise Tg=18πkT_g = \frac{18\pi}{k} olarak elde edilir. Periyotların eşitliği kπ2=18πk  ⟹  k2=36\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} \implies k^2 = 36 bağıntısını verir. Pozitif kk gerçel sayısı buradan 66 olarak saptanır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=3sin⁡2(2kx)−1f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1 fonksiyonunun esas periyodunu (TfT_f) hesaplama.
Tf=kπ2T_f = \frac{k\pi}{2}
Sinüs fonksiyonunun derecesi çift (22) olduğundan, periyot T=π∣b∣T = \frac{\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Burada b=2kb = \frac{2}{k} ve k>0k > 0 olduğu için Tf=π2k=kπ2T_f = \frac{\pi}{\frac{2}{k}} = \frac{k\pi}{2} olur.
2
g(x)=5cos⁡(k9x)+4g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4 fonksiyonunun esas periyodunu (TgT_g) hesaplama.
Tg=18πkT_g = \frac{18\pi}{k}
Kosinüs fonksiyonunun derecesi tek (11) olduğundan, periyot T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Burada b=k9b = \frac{k}{9} ve k>0k > 0 olduğu için Tg=2πk9=18πkT_g = \frac{2\pi}{\frac{k}{9}} = \frac{18\pi}{k} olur.
3
Esas periyotların eşitliği koşulundan kk değerini bulma.
k=6k = 6
Tf=TgT_f = T_g eşitliğinden kπ2=18πk\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} denklemi elde edilir. Her iki taraf sadeleştirildiğinde k2=18k  ⟹  k2=36\frac{k}{2} = \frac{18}{k} \implies k^2 = 36 olur. k>0k > 0 koşulunu sağlayan değer k=6k = 6 olarak bulunur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonlarda sin⁡n(ax+b)\sin^n(ax+b) ve cos⁡n(ax+b)\cos^n(ax+b) ifadelerinin esas periyotları belirlenirken, kuvvetin tek veya çift olmasına bakılır. Derece çift (nn çift) ise periyot T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|}, derece tek (nn tek) ise periyot T=2π∣a∣T = \frac{2\pi}{|a|} formülüyle hesaplanır.
Question 2Question →

Analitik düzlemde, f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x) fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)

Answer

g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Bir fonksiyonun grafiği sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde tanım kümesindeki elemanlar x−π2x - \frac{\pi}{2} şeklinde değişir. Buradan g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) elde edilir. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı cos⁡(x−π2)=cos⁡(π2−x)\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) yazılabilir. Son olarak, tümler açıların trigonometrik oranları ilişkisinden cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) eşitliği bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Yatay öteleme kuralını uygulayarak ötelenmiş fonksiyonun ifadesini yazma.
g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)
Bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği sağa doğru aa birim ötelendiğinde f(x−a)f(x-a) fonksiyonu elde edilir. Burada sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim öteleme yapıldığı için xx yerine x−π2x - \frac{\pi}{2} yazılır.
2
Elde edilen fonksiyonu kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini kullanarak düzenleme.
g(x)=cos⁡(π2−x)g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla cos⁡(x−π2)=cos⁡(−(π2−x))=cos⁡(π2−x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos\left(-(\frac{\pi}{2} - x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) olur.
3
Trigonometrik indirgeme (tümler açı) kuralını uygulayarak fonksiyonu sadeleştirme.
g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Birbirini 90∘90^\circ ye (yani π2\frac{\pi}{2} radyana) tamamlayan açılardan birinin kosinüsü, diğerinin sinüsüne eşittir. Bu nedenle cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) olur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların yatay ötelemesi ve indirgeme formülleri
Question 3Question →

f(x)=tan⁡(3x−π4)f(x) = \tan\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3} olup, bu fonksiyon (−π12,π4)\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right) açık aralığında artandır.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen önerme doğrudur. Fonksiyonun esas periyodu π3\frac{\pi}{3}'tür ve (−π12,π4)\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right) açık aralığında daima artandır.
Doğru seçenekte belirtildiği üzere, tanjant fonksiyonunun katsayısına bağlı olarak periyodu π3\frac{\pi}{3} bulunur ve ardışık asimptotları olan −π12-\frac{\pi}{12} ile π4\frac{\pi}{4} arasında fonksiyon grafiği daima yukarı doğru yöneldiğinden artandır.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Esas periyot T=π∣3∣=π3T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3} olarak hesaplanır.
y=tan⁡(ax+b)y = \tan(ax+b) fonksiyonunun esas periyot formülü T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} şeklindedir.
2
Fonksiyonun ardışık iki asimptotunu (tanımsızlık noktasını) tespit ediniz.
x=−π12x = -\frac{\pi}{12} ve x=π4x = \frac{\pi}{4} doğruları asimptotlardır.
Tanjant fonksiyonu, açısının π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) olduğu durumlarda tanımsızdır. En yakın iki asimptot için 3x−π4=−π2  ⟹  x=−π123x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \implies x = -\frac{\pi}{12} ve 3x−π4=π2  ⟹  x=π43x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} eşitlikleri çözülür.
3
Asimptotlar arasında kalan bölgede artanlık/azalanlık durumunu değerlendiriniz.
(−π12,π4)\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right) aralığı iki ardışık asimptot arası olduğundan fonksiyon bu aralıkta daima artandır.
Tanjant fonksiyonu tanımlı olduğu her bir açık periyot aralığında sürekli olarak artış gösterir.

Key Concept

Tanjant fonksiyonunun esas periyodu, asimptotları ve monotonluk aralığı
Estimated Time:2m 0s
Question 4Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun esas periyodu π\pi radyandır.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen trigonometrik ifadenin esas periyodu π\pi radyan olduğundan ifade doğrudur.
Verilen f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun periyodu hesaplanırken tek dereceli sinüs fonksiyonunun periyot formülü olan T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} kullanılır. xx değişkeninin katsayısı b=2b=2 olduğundan periyot π\pi olur ve ifade doğru kabul edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun periyodunu belirleyen katsayıları tespit edin.
f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunda esas periyodu etkileyen tek parametre xx'in katsayısı olan b=2b = 2 değeridir.
Trigonometrik fonksiyonlarda dikey yönlü esnetmeler, daraltmalar ve dikey ötelemeler periyodu etkilemez; periyot sadece yatay yöndeki değişimlere bağlıdır.
2
Sinüs fonksiyonunun derece özelliğine göre periyot formülünü uygulayın.
Sinüsün kuvveti tek (11) olduğundan esas periyot formülü T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} olur. Buradan T=2π∣2∣=πT = \frac{2\pi}{|2|} = \pi elde edilir.
Esas periyot, fonksiyonun kendini en küçük hangi aralıkta tekrar ettiğini bulmak amacıyla hesaplanır.

Key Concept

Trigonometrik Fonksiyonlarda Esas Periyot Bulma
Question 5Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3sin⁡(2x−π4)+1f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 fonksiyonunun grafiği x=3π8x = \frac{3\pi}{8} düşey doğrusuna göre simetriktir ve ff fonksiyonunun [3π8,7π8]\left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right] aralığındaki grafiği azalandır.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur.
Verilen fonksiyonun maksimum noktasından geçen x=3π8x = \frac{3\pi}{8} doğrusu simetri eksenidir ve fonksiyonun girdisi tanımlanan aralıkta sinüsün azalan olduğu bölgede yer almaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Simetri eksenini belirlemek için fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktayı bulun.
3sin⁡(2x−π4)+13\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 fonksiyonunun maksimum değeri alması için sin⁡(2x−π4)=1\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 olmalıdır. Buradan 2x−π4=π2  ⟹  2x=3π4  ⟹  x=3π82x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies 2x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{8} bulunur.
Sinüs fonksiyonunun grafiği, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarından geçen düşey doğrulara göre simetriktir.
2
Verilen x∈[3π8,7π8]x \in \left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right] aralığı için argümanın değer aralığını belirleyin.
x≥3π8  ⟹  2x−π4≥π2x \ge \frac{3\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \ge \frac{\pi}{2} ve x≤7π8  ⟹  2x−π4≤3π2x \le \frac{7\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} olur. Dolayısıyla argüman [π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındadır.
Bileşke fonksiyonun davranışını incelemek için içteki doğrusal ifadenin görüntü kümesi bulunur.
3
Elde edilen açı aralığında sinüs fonksiyonunun artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığı birim çemberde II. ve III. bölgelere karşılık gelir. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu 1'den -1'e sürekli azalır. Katsayı pozitif (3>03 > 0) olduğundan f(x)f(x) fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
Pozitif katsayı ile çarpma ve dikey öteleme işlemleri fonksiyonun artanlık/azalanlık yönünü değiştirmez.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde simetri eksenleri ve monotonluk (artanlık-azalanlık) analizi.
Question 6Question →

Analitik düzlemde, f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: sin⁡(2x)\sin(2x)

Answer

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni fonksiyon sin⁡(2x)\sin(2x) şeklindedir.
Verilen fonksiyon grafiğini yatay doğrultuda sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelemek için xx yerine x−π4x - \frac{\pi}{4} yazılır. Buradan g(x)=cos⁡(2(x−π4))=cos⁡(2x−π2)g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) elde edilir. Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliği (cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta)) kullanılarak ifade cos⁡(π2−2x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) şeklinde yazılabilir. π2\frac{\pi}{2} cinsinden yapılan indirgemelerde isim değişerek sinüse döner ve birinci bölgede işaret pozitif olduğundan sonuç sin⁡(2x)\sin(2x) olur.

Step-by-Step Solution

1
Yatay doğrultuda sağa öteleme için bağımsız değişkene uygulanacak dönüşümü belirleme.
Sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birimlik öteleme için fonksiyondaki xx değişkeni yerine x−π4x - \frac{\pi}{4} yazılmalıdır.
Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde, girdilerin aynı çıktıları daha geç vermesi için bağımsız değişkenden öteleme miktarı çıkarılır.
2
f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) kuralında dönüşümü yerine yazarak yeni fonksiyon kuralını elde etme.
g(x)=cos⁡(2(x−π4))=cos⁡(2x−π2)g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)
Öteleme dönüşümü doğrudan bağımsız değişkene uygulanmalı ve parantez içi katsayı ile çarpılarak dağıtılmalıdır.
3
Elde edilen ifadeyi kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirme.
g(x)=cos⁡(−(π2−2x))=cos⁡(π2−2x)=sin⁡(2x)g(x) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)
Her θ\theta için cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) ve birbirini 90∘90^\circ ye tamamlayan (tümler) açıların kosinüsü sinüsüne eşittir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonlarda yatay öteleme dönüşümü ve indirgeme formülleri.
Estimated Time:1m 30s
Question 7Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3cos⁡(2x−π)+1f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1 fonksiyonunun grafiği, g(x)=3sin⁡(2x)+1g(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun grafi��inin yatay doğrultuda sola doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade doğru mudur?

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

İfade yanlıştır. Öteleme sonucunda elde edilen fonksiyon 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 iken, f(x)f(x) fonksiyonu −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 olarak sadeleşir; bu iki fonksiyonun grafikleri farklıdır.
Yapılan öteleme işlemi sonucunda oluşan fonksiyon 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 iken, f(x)f(x) fonksiyonunun sadeleşmiş biçimi −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 şeklindedir. Bu iki fonksiyon özdeş olmadığından grafikler çakışmaz ve ifade yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=3sin⁡(2x)+1g(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun grafiğinin sola doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelenmesiyle oluşan yeni fonksiyon yazılır.
g(x+π4)=3sin⁡(2(x+π4))+1=3sin⁡(2x+π2)+1g\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 3\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1 = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1
Bir fonksiyonun grafiğini sola doğru aa birim ötelemek, fonksiyonda xx yerine x+ax+a yazmak demektir.
2
Elde edilen 3sin⁡(2x+π2)+13\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1 ifadesi indirgeme formülü kullanılarak sadeleştirilir.
3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1
sin⁡(θ+π2)=cos⁡(θ)\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\theta) özdeşliği uyarınca, birinci bölgede veya eksen geçişlerinde sinüs kosinüse dönüşür ve ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan işaret değişmez.
3
f(x)=3cos⁡(2x−π)+1f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1 fonksiyonunun ifadesi indirgeme formülü ile sadeleştirilir.
f(x)=−3cos⁡(2x)+1f(x) = -3\cos(2x) + 1
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(2x−π)=cos⁡(π−2x)\cos(2x - \pi) = \cos(\pi - 2x) olur. İndirgeme formüllerine göre cos⁡(π−θ)=−cos⁡(θ)\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta) olduğundan, ifade −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 biçimini alır.
4
Öteleme sonucu oluşan 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 fonksiyonu ile f(x)=−3cos⁡(2x)+1f(x) = -3\cos(2x) + 1 fonksiyonu karşılaştırılır.
3cos⁡(2x)+1≠−3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 \neq -3\cos(2x) + 1
Fonksiyonların katsayıları farklı olduğundan grafikler aynı değildir ve verilen ifade yanlıştır.

Key Concept

Trigonometrik Fonksiyonlarda Yatay Öteleme ve İndirgeme Formülleri

Alternative Method

Öteleme ve sadeleştirme işlemlerini cebirsel olarak yapmak yerine, her iki fonksiyonda da x=0x = 0 değeri yerine yazılarak grafiklerin y-eksenini kestiği noktalar karşılaştırılabilir. g(x)g(x) sola π4\frac{\pi}{4} ötelenirse x=0x=0 noktasındaki değeri g(π4)=3sin⁡(π2)+1=4g(\frac{\pi}{4}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 4 olur. Diğer yandan f(0)=3cos⁡(−π)+1=3(−1)+1=−2f(0) = 3\cos(-\pi) + 1 = 3(-1) + 1 = -2 olur. 4≠−24 \neq -2 olduğundan grafiklerin çakışması mümkün değildir.
Estimated Time:2m 0s
Question 8Question →
Pozitif bir kk gerçel sayısı için f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunun esas periyodu π4\frac{\pi}{4} radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Verilen fonksiyonun esas periyodu 4'tür.
Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle bulunur. Burada xx'in katsayısı a=ka=k olup, k>0k > 0 olduğu için periyot πk\frac{\pi}{k} olur. Soruda periyot π4\frac{\pi}{4} olarak verildiğinden πk=π4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden k=4k = 4 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kotanjant fonksiyonunun esas periyot formülünü yazma
g(x)=c⋅cot⁡(ax+b)g(x) = c \cdot \cot(ax + b) biçimindeki fonksiyonların esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle hesaplanır.
Kotanjant fonksiyonunun grafiği her π\pi radyanda bir kendini tekrar ettiği için esas periyodu bulurken tanım kümesindeki yatay daralma/genişleme katsayısı olan aa değerine bölme yapılır.
2
Periyot denklemini kurarak k değerini hesaplama
f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunda xx'in katsayısı kk olduğundan periyot T=π∣k∣T = \frac{\pi}{|k|} olur. k>0k > 0 olarak verildiğinden ∣k∣=k|k| = k alınır. Buradan πk=π4  ⟹  k=4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} \implies k = 4 elde edilir.
Fonksiyonun esas periyodunun π4\frac{\pi}{4} olduğu soruda verildiği için bu iki değer birbirine eşitlenir.

Key Concept

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarında xx'in katsayısı olan aa değeri için esas periyot T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle elde edilir.
Question 9Question →
Dik koordinat düzleminde, a>0a > 0, b>0b > 0 ve c∈[0,π)c \in [0, \pi) olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx+c)+df(x) = a \cos(bx + c) + d
fonksiyonunun grafiğiyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Grafiğin yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 33'tür.
- Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 55, en küçük değer ise −1-1'dir.
- Fonksiyonun esas periyodu π\pi radyandır.

Buna göre, f(π12)f\left(\frac{\pi}{12}\right) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

Answer

4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}
Fonksiyonun en büyük değeri a+d=5a + d = 5 ve en küçük değeri −a+d=−1-a + d = -1 denklemlerinden a=3a = 3 ve d=2d = 2 bulunur. Periyodun π\pi olmasından b=2b = 2 elde edilir. Grafiğin yy eksenini kestiği nokta olan (0,3)(0, 3) değeri fonksiyonda yerine yazıldığında 3cos⁡(c)+2=3⇒cos⁡(c)=1/33\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = 1/3 bulunur. c∈[0,π)c \in [0, \pi) olduğundan sin⁡(c)=223\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3} olur. f(π/12)=3cos⁡(π/6+c)+2f(\pi/12) = 3\cos(\pi/6 + c) + 2 ifadesi kosinüs toplam formülü yardımıyla açıldığında 4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genlik ve düşey öteleme katsayılarını (aa ve dd) belirleme
a+d=5a + d = 5 ve −a+d=−1-a + d = -1 denklem sisteminden d=2d = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğu için cos⁡(bx+c)\cos(bx+c) ifadesinin maksimum değeri 11, minimum değeri −1-1 olur. Bu değerler fonksiyonu sırasıyla en büyük ve en küçük değerlerine ulaştırır.
2
Periyot katsayısını (bb) belirleme
2π∣b∣=π⇒b=2\frac{2\pi}{|b|} = \pi \Rightarrow b = 2 bulunur.
Kosinüs fonksiyonunun esas periyodu T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır ve soruda periyot π\pi olarak verilmiştir (b>0b > 0).
3
Yatay öteleme açısını (cc) belirleme
f(0)=3⇒3cos⁡(c)+2=3⇒cos⁡(c)=13f(0) = 3 \Rightarrow 3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = \frac{1}{3} bulunur. Buradan sin⁡(c)=223\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3} elde edilir.
Grafik yy eksenini (0,3)(0, 3) noktasında kesmektedir. c∈[0,π)c \in [0, \pi) aralığında kosinüsü pozitif olan açının sinüsü de pozitif olmalıdır.
4
f(π/12)f(\pi/12) değerini hesaplama
f(π/12)=3cos⁡(2⋅π12+c)+2=3cos⁡(π6+c)+2=4+3−222f(\pi/12) = 3\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12} + c\right) + 2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + c\right) + 2 = \frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} bulunur.
Kosinüs toplam formülü cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta kullanılarak cos⁡(π6+c)=32⋅13−12⋅223\cos(\frac{\pi}{6} + c) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} olarak hesaplanır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri üzerindeki tepe noktaları, periyot ve öteleme parametreleri ile fonksiyonun katsayıları arasındaki ilişki.
Question 10Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=4sin⁡(3x+π6)−1f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 fonksiyonunun esas periyodu 2π3\frac{2\pi}{3} olup, bu fonksiyonun grafiği yy-eksenini (0,1)(0, 1) noktasında keser.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade doğrudur çünkü f(x)=4sin⁡(3x+π6)−1f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 fonksiyonunun esas periyodu formül gereği 2π3\frac{2\pi}{3} olup, x=0x=0 yazıldığında elde edilen yy-kesim noktası (0,1)(0, 1) koordinatlarını tam olarak sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun esas periyodunun hesaplanması
Esas periyot T=2π3T = \frac{2\pi}{3} olarak bulunur.
f(x)=4sin⁡(3x+π6)−1f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 fonksiyonunda sinüsün kuvveti 11 (tek) ve xx'in katsayısı b=3b=3'tür. Tek kuvvetli sinüs fonksiyonlarında periyot T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Buradan T=2π∣3∣=2π3T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3} elde edilir.
2
Fonksiyonun yy-eksenini kestiği noktanın hesaplanması
Grafiğin yy-eksenini kestiği nokta (0,1)(0, 1) olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin yy-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x=0x = 0 yazılır. f(0)=4sin⁡(3⋅0+π6)−1=4sin⁡(π6)−1f(0) = 4\sin\left(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 olur. sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değeri yerine yazıldığında f(0)=4⋅12−1=2−1=1f(0) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1 elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların periyodu ve grafiğin eksenleri kestiği noktalar.
Question 11Question →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a\cos(bx) + c
fonksiyonunun grafiğinin ardışık bir maksimum noktası ile bir minimum noktasının yy koordinatları sırasıyla 55 ve −1-1'dir.

Bu iki noktanın apsisleri arasındaki fark π4\frac{\pi}{4} birim olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Doğru cevap 9'dur.
Verilen maksimum ve minimum ordinat değerlerinden a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklemleri kurulur; buradan a=3a = 3 ve c=2c = 2 bulunur. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay uzaklık periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b} birimdir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden b=4b = 4 elde edilir. Sonuç olarak a+b+c=3+4+2=9a + b + c = 3 + 4 + 2 = 9 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Maksimum ve minimum noktalarının y koordinatlarını kullanarak aa ve cc değerlerini bulunuz.
c=2c = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğundan, cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun maksimum değeri olan 11 için f(x)f(x) en büyük değerini (a+ca + c), minimum değeri olan −1-1 için ise en küçük değerini (−a+c-a + c) alır. a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklem sistemi çözüldüğünde bu değerler elde edilir.
2
Ardışık maksimum ve minimum noktaları arasındaki mesafenin periyodun yarısı olduğunu kullanarak bb değerini bulunuz.
b=4b = 4 elde edilir.
cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun periyodu T=2πbT = \frac{2\pi}{b}'dir. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay mesafe periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b}'ye eşittir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} olduğundan b=4b = 4 bulunur.
3
a+b+ca + b + c toplamını hesaplayınız.
3+4+2=93 + 4 + 2 = 9 bulunur.
Bulunan a=3a = 3, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların periyotları ve grafiklerindeki maksimum/minimum noktalarının apsis ve ordinat değerleriyle olan ilişkisi.
Question 12Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=sin⁡2(3x)−cos⁡(6x)f(x) = \sin^2(3x) - \cos(6x) fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3}'tür.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur, çünkü fonksiyon düzenlendiğinde esas periyodunun π3\frac{\pi}{3} olduğu görülür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü sin⁡2(3x)−cos⁡(6x)\sin^2(3x) - \cos(6x) ifadesi kosinüsün yarım açı formülüyle sadeleştirildiğinde 12−32cos⁡(6x)\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x) biçimine dönüşür ve bu fonksiyonun periyodu T=2π6=π3T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak sin⁡2(3x)\sin^2(3x) terimini yarım açı formülü (kosinüs çift kat açı formülü) yardımıyla dönüştürün.
sin⁡2(3x)=1−cos⁡(6x)2\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} eşitliği elde edilir.
Fonksiyonun periyodunu belirlemek için farklı açılara sahip trigonometrik ifadeleri ortak bir açı değerinde birleştirmek gerekir.
2
Elde edilen bu ifadeyi fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirin.
f(x)=1−cos⁡(6x)2−cos⁡(6x)=12−32cos⁡(6x)f(x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \cos(6x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x) elde edilir.
Fonksiyonun tek bir kosinüs terimine indirgenmesi, esas periyot hesaplama kuralının doğrudan uygulanmasını sağlar.
3
g(x)=k⋅cos⁡n(ax+b)+cg(x) = k \cdot \cos^n(ax + b) + c formundaki fonksiyonlarda nn tek sayı iken periyodun T=2π∣a∣T = \frac{2\pi}{|a|} olduğunu hatırlayarak periyodu hesaplayın.
a=6a = 6 ve n=1n = 1 (tek) olduğundan, T=2π6=π3T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} bulunur.
Buradaki kosinüs teriminin üssü 11 (tek) ve xx değişkeninin katsayısı 66 olduğundan standart periyot formülü uygulanmıştır.

Key Concept

Bir fonksiyonun esas periyodunu bulmak için trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeyi sadeleştirip standart periyot formüllerini uygulamak gerekir.
Question 13Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(b x) + c
fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3} ve görüntü kümesi [−1,5][-1, 5]'tir.

aa ve bb pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Katsayıların toplamı 11'dir.
Fonksiyonun periyodundan b=6b = 6, görüntü kümesi sınırlarından ise a=3a = 3 ve c=2c = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1111 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Esas periyot formülü yardımıyla b katsayısını bulma.
b = 6
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(bx) + c biçimindeki kosinüs fonksiyonunun esas periyodu T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle bulunur. b>0b > 0 olduğu ve esas periyot π3\frac{\pi}{3} olarak verildiği için, 2πb=π3\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{3} eşitliğinden b=6b = 6 elde edilir.
2
Görüntü kümesi yardımıyla a ve c katsayılarını bulma.
a = 3, c = 2
Her xx gerçel sayısı için −1≤cos⁡(6x)≤1-1 \leq \cos(6x) \leq 1 aralığı geçerlidir. a>0a > 0 olduğu için fonksiyonun alabileceği en küçük değer −a+c-a + c, en büyük değer ise a+ca + c olur. Buradan −a+c=−1-a + c = -1 ve a+c=5a + c = 5 denklem sistemi kurulur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2c=4  ⟹  c=22c = 4 \implies c = 2 bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında a=3a = 3 elde edilir.
3
a, b ve c katsayılarını toplama.
a + b + c = 11
Hesaplanan a=3a = 3, b=6b = 6 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak 3+6+2=113 + 6 + 2 = 11 sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonlarda periyot ve katsayıların görüntü kümesine etkisi.
Estimated Time:2m 0s
Question 14Question →

Gerçel say��lar kümesinin, her k∈Zk \in \mathbb{Z} için x≠π+2kπx \neq \pi + 2k\pi ve x≠3kπx \neq 3k\pi koşullarını sağlayan en geniş alt kümesinde tanımlı f(x)=tan⁡(x2)−cot⁡(x3)f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun esas periyodu 6π6\pi radyandır.

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade, tanım kümesini ve fonksiyonun esas periyodunu doğru bir şekilde belirtmektedir. Tanjant ve kotanjant terimlerinin ayrı ayrı periyotları 2π2\pi ve 3π3\pi olup, bu periyotların en küçük ortak katı olan 6π6\pi fonksiyonun esas periyodudur. Ayrıca asimptotlar (tanımsızlık noktaları) da doğru belirlenmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirlemek için f(x)=tan⁡(x2)−cot⁡(x3)f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunu olu��turan terimlerin tanımsız olduğu noktaları bulun.
tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) terimi x2=π2+kπ  ⟹  x=π+2kπ\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) noktalarında; cot⁡(x3)\cot\left(\frac{x}{3}\right) terimi ise x3=kπ  ⟹  x=3kπ\frac{x}{3} = k\pi \implies x = 3k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) noktalarında tanımsızdır.
Tanjant fonksiyonu, açının kosinüsünü sıfır yapan noktalarda; kotanjant fonksiyonu ise açının sinüsünü sıfır yapan noktalarda tanımsızdır.
2
Her iki terimin esas periyodunu ayrı ayrı hesaplayın.
tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) fonksiyonunun periyodu T1=π1/2=2πT_1 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi ve cot⁡(x3)\cot\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun periyodu T2=π1/3=3πT_2 = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi olarak bulunur.
a≠0a \neq 0 olmak üzere, y=tan⁡(ax+b)y = \tan(ax+b) ve y=cot⁡(ax+b)y = \cot(ax+b) fonksiyonlarının esas periyodu π∣a∣\frac{\pi}{|a|} formülü ile hesaplanır.
3
İki fonksiyonun farkı ile tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonunun esas periyodunu belirlemek için bireysel periyotların en küçük ortak katını (EKOK) alın.
T=EKOK(T1,T2)=EKOK(2π,3π)=6πT = \text{EKOK}(T_1, T_2) = \text{EKOK}(2\pi, 3\pi) = 6\pi radyandır.
Tanımlı iki periyodik fonksiyonun toplamı veya farkı şeklinde yazılan fonksiyonların periyodu, ayrı ayrı periyotlarının en küçük ortak katıdır.

Key Concept

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanım kümeleri (düşey asimptotları) ile periyotlarının hesaplanması ve birleştirilmesi.
Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin