Examkin

Question

Difficulty: Easyİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
(x−2)2x−5≤0\frac{(x - 2)^2}{x - 5} \leq 0
x−1≥0x - 1 \geq 0

Yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [1,5][1, 5]
  2. B
    [2,5)[2, 5)
  3. [1,5)[1, 5)Answer
  4. D
    [1,2)∪(2,5)[1, 2) \cup (2, 5)
  5. E
    [2,5][2, 5]

Answer

Çözüm kümesi [1,5)[1, 5) yarı açık aralığıdır.
Birinci eşitsizlik olan (x−2)2x−5≤0\frac{(x-2)^2}{x-5} \leq 0 ifadesinde payın çift katlı kökü x=2x=2 ve paydanın kökü x=5x=5'tir. Paydanın sıfır olamayacağı göz önüne alındığında bu eşitsizliği sağlayan aralık (−∞,5)(-\infty, 5) olur. İkinci eşitsizlik olan x−1≥0x - 1 \geq 0 ifadesinden x≥1x \geq 1 yani [1,∞)[1, \infty) aralığı elde edilir. İki kümenin kesişimi [1,5)[1, 5) aralığı olduğundan bu aralık doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliği analiz edelim: (x−2)2x−5≤0\frac{(x-2)^2}{x-5} \leq 0.
x<5x < 5 elde edilir. Payın kökü olan x=2x=2 çift katlı köktür. Paydanın kökü x=5x=5 tek katlı köktür ve payda sıfır olamayacağı için x≠5x \neq 5 olmalıdır. (x−2)2(x-2)^2 ifadesi her xx gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olduğundan, ifadenin işareti paydanın işaretine bağlıdır. Eşitsizliğin negatif olması için x−5<0⇒x<5x-5 < 0 \Rightarrow x < 5 olmalıdır. Ayrıca eşitlik durumu nedeniyle payı sıfır yapan x=2x=2 değeri de çözüm kümesine dahildir. Buradan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,5)(-\infty, 5) olarak bulunur.
Eşitsizlik sistemindeki birinci ifadenin çözüm aralığını bulmak.
2
İkinci eşitsizliği analiz edelim: x−1≥0x - 1 \geq 0.
x≥1x \geq 1 elde edilir, yani çözüm kümesi [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.
Eşitsizlik sistemindeki ikinci ifadenin çözüm aralığını bulmak.
3
Her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alalım.
(−∞,5)∩[1,∞)=[1,5)(-\infty, 5) \cap [1, \infty) = [1, 5) aralığı elde edilir. Bu aralıkta x=2x=2 çift katlı kökü de yer aldığı için kümeden herhangi bir eleman çıkarmaya gerek yoktur.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesini belirlemek.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde, her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunarak ortak kesişim kümesi elde edilir.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri