Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx parabolünün üzerindeki A(1,3)A(1, 3) noktasından çizilen teğet doğrusu xx-eksenini x=−2x = -2 noktasında kesmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Answer: -10

Answer

Doğru cevap -10'dur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen iki nokta olan (1, 3) ve (-2, 0) kullanılarak doğrunun eğimi 1 olarak hesaplanır. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki türevi f'(1) = 2a + b bu eğime eşitlenerek 2a + b = 1 denklemi bulunur. Ayrıca A(1, 3) noktası fonksiyonun üzerinde olduğu için a + b = 3 eşitliği sağlanır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a = -2 ve b = 5 elde edilir, çarpımları ise -10 olur.

Step-by-Step Solution

1
A(1, 3) noktasının parabol üzerinde bulunması bilgisini kullanmak.
f(1)=a(1)2+b(1)=a+b=3f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b = 3 denklemi elde edilir.
Bir eğri üzerindeki nokta, o eğrinin denklemini sağlamak zorundadır.
2
Teğet doğrusunun eğimini iki noktası bilinen doğrunun eğim formülüyle hesaplamak.
Teğet doğrusu A(1,3)A(1, 3) ve (−2,0)(-2, 0) noktalarından geçtiği için eğimi m=3−01−(−2)=1m = \frac{3 - 0}{1 - (-2)} = 1 olur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin e��imini belirlemek için doğrunun geçtiği diğer nokta olan xx-eksenini kestiği nokta kullanılır.
3
Fonksiyonun türevini alıp teğet noktasındaki eğime eşitlemek.
f′(x)=2ax+b⇒f′(1)=2a+b=1f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 1 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek ve parametrelerin çarpımını bulmak.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=12a + b = 1 denklemlerinden a=−2a = -2 ve b=5b = 5 bulunur. Buradan a⋅b=−10a \cdot b = -10 elde edilir.
Bilinmeyen aa ve bb değerlerini bulup bizden istenen çarpım değerine ulaşmak.

Key Concept

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic