Examkin

Question

Difficulty: MediumSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları a,b,ca, b, c birimdir. Bu üçgende,
b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac
bağıntısı geçerlidir.

b=33 birimb = 3\sqrt{3}\text{ birim} ve sin⁡(A^)=12\sin(\widehat{A}) = \frac{1}{2} olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

  1. 3Answer
  2. B
    6
  3. C
    333\sqrt{3}
  4. D
    636\sqrt{3}
  5. E
    92\frac{9}{2}

Answer

Çevrel çemberin yarıçapı 3 birimdir.
Kosinüs Teoremi'nden elde edilen m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ açısı kullanılarak Sinüs Teoremi formülü uygulandığında çevrel çemberin yarıçapı doğru bir şekilde 3 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak BB açısının ölçüsü belirlenir.
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ
Bir üçgende b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\widehat{B}) bağıntısı vardır. Soruda verilen b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac bağıntısı ile karşılaştırıldığında −2cos⁡(B^)=1  ⟹  cos⁡(B^)=−12-2\cos(\widehat{B}) = 1 \implies \cos(\widehat{B}) = -\frac{1}{2} elde edilir. Buradan geniş açı olan BB açısı 120∘120^\circ olarak bulunur.
2
Sinüs Teoremi'nin çevrel çember yarıçapı ile ilişkili formülü yazılır.
bsin⁡(B^)=2R\frac{b}{\sin(\widehat{B})} = 2R
Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R2R) eşittir.
3
Bilinen değerler formülde yerine yazılarak yarıçap (RR) hesaplanır.
R=3R = 3
b=33b = 3\sqrt{3} ve sin⁡(120∘)=32\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri yerine yazıldığında: 3332=2R  ⟹  6=2R  ⟹  R=3\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3 elde edilir.

Key Concept

Sinüs Teoremi ile çevrel çemberin yarıçapı (RR) ve kenar uzunlukları arasındaki ilişki: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.
Rate this question

Topics

Sinüs Teoremi

More questions from this topic