Examkin

Question

Difficulty: Very hardLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−12(x2−11x+24x2−13x+40)+log⁡12−x(x2−7x)f(x) = \log_{\frac{x-1}{2}}\left(\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 13x + 40}\right) + \log_{12-x}(x^2 - 7x)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. 19Answer
  2. B
    26
  3. C
    27
  4. D
    30
  5. E
    38

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 19'dur.
Doğru cevap olan 19 değeri, fonksiyonu oluşturan her iki logaritma teriminin tanımlı olduğu ortak aralıktaki tam sayıların (9 ve 10) toplamıdır. Bu aralık bulunurken tabanların pozitif ve 1'den farklı olması, logaritma içlerinin pozitif olması ve sadeleşen çarpanın (x=8x = 8) tanımsızlık yaratması nedeniyle kümeden çıkarılması koşullarının tamamı başarıyla uygulanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci logaritma teriminin taban ve iç kısmının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulundan: g1(x)=x−12>0⇒x>1g_1(x) = \frac{x-1}{2} > 0 \Rightarrow x > 1 ve g1(x)≠1⇒x−12≠1⇒x≠3g_1(x) \neq 1 \Rightarrow \frac{x-1}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq 3 elde edilir.
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve birden farklı olmalıdır.
2
Birinci logaritmanın iç kısmındaki rasyonel ifadenin işaret incelemesini yapmak.
h1(x)=x2−11x+24x2−13x+40=(x−3)(x−8)(x−5)(x−8)>0h_1(x) = \frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 13x + 40} = \frac{(x-3)(x-8)}{(x-5)(x-8)} > 0 ifadesinde, paydanın sıfır olmaması gerektiğinden x≠5x \neq 5 ve x≠8x \neq 8 olmalıdır. x≠8x \neq 8 için ifade sadeleştiğinde x−3x−5>0\frac{x-3}{x-5} > 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,3)∪(5,∞)∖{8}(-\infty, 3) \cup (5, \infty) \setminus \{8\} olarak bulunur.
Logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır. Sadeleşen çarpanlar tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
3
İkinci logaritma teriminin taban ve iç kısmının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulundan: g2(x)=12−x>0⇒x<12g_2(x) = 12 - x > 0 \Rightarrow x < 12 ve g2(x)≠1⇒x≠11g_2(x) \neq 1 \Rightarrow x \neq 11 elde edilir. İç kısım koşulundan: h2(x)=x2−7x>0⇒x(x−7)>0⇒x∈(−∞,0)∪(7,∞)h_2(x) = x^2 - 7x > 0 \Rightarrow x(x-7) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) bulunur.
İkinci logaritma teriminin tanımlı olması için taban ve iç kısım kuralları uygulanmalıdır.
4
Elde edilen tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini ve bu kümedeki tam sayıları bulmak.
Tüm koşulların kesişimi alındığında:
- x>1x > 1 ve x<12⇒x∈(1,12)x < 12 \Rightarrow x \in (1, 12)
- x∈(−∞,0)∪(7,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) ile kesişimden ⇒x∈(7,12)\Rightarrow x \in (7, 12)
- Birinci iç kısmın tanımından ⇒x∈(7,12)∖{8}\Rightarrow x \in (7, 12) \setminus \{8\}
- Tabanların 1 olmama koşullarından (x≠3x \neq 3 ve x≠11x \neq 11) ⇒x∈(7,12)∖{8,11}\Rightarrow x \in (7, 12) \setminus \{8, 11\} elde edilir. En geniş tanım kümesi (7,12)∖{8,11}(7, 12) \setminus \{8, 11\} olup, bu aralıktaki tam sayılar 9 ve 10'dur. Toplamları ise 9+10=199 + 10 = 19'dur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki logaritmanın da aynı anda tanımlı olması gerekir.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, logaritmanın içinin ise kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekir. Rasyonel ifadelerde sadeleşen çarpanlar paydada bulunuyorsa, bu çarpanların kökleri ifadenin asıl halinde tanımsızlık yaratacağı için çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi