Examkin

Question

Difficulty: MediumAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere,

S15−S10=235S_{15} - S_{10} = 235
a8=27a_8 = 27

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

  1. A
    145
  2. 170Answer
  3. C
    175
  4. D
    190
  5. E
    195

Answer

170
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S15−S10=5a1+60d=235S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 denklemi ve dizinin 8. terimi olan a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemi ortak çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=4d = 4 ve ilk terimi a1=−1a_1 = -1 olarak bulunur. Bu değerler ilk 10 terim toplamı formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 170 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk nn terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesini kullanarak S15S_{15} ve S10S_{10} toplamlarını a1a_1 ve ortak fark dd cinsinden yazalım.
S15=15a1+105dS_{15} = 15a_1 + 105d ve S10=10a1+45dS_{10} = 10a_1 + 45d elde edilir.
S15−S10S_{15} - S_{10} farkını elde etmek ve bu farkı verilen sayısal değere eşitlemek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
S15−S10S_{15} - S_{10} ifadesini hesaplayalım ve verilen a8a_8 terimini a1a_1 ve dd cinsinden yazarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kuralım.
S15−S10=5a1+60d=235  ⟹  a1+12d=47S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 \implies a_1 + 12d = 47 ve a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemleri elde edilir.
Dizinin birinci terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak için iki bağımsız denklem elde etmemiz gerekir.
3
Elde edilen a1+12d=47a_1 + 12d = 47 ve a1+7d=27a_1 + 7d = 27 denklemlerini taraf tarafa çıkararak dd ve a1a_1 değerlerini hesaplayalım.
5d=20  ⟹  d=45d = 20 \implies d = 4 ve a1=−1a_1 = -1 bulunur.
Ortak fark ve ilk terim bilindiğinde dizinin herhangi bir terimi veya terimler toplamı hesaplanabilir.
4
Hesaplanan a1=−1a_1 = -1 ve d=4d = 4 değerlerini kullanarak ilk 10 terim toplamı olan S10S_{10} değerini hesaplayalım.
S10=102(2a1+9d)=5(2(−1)+9(4))=5(−2+36)=170S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 5(2(-1) + 9(4)) = 5(-2 + 36) = 170 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen ilk 10 terim toplamına ulaşmak için SnS_n formülünde n=10n=10 yazılarak sonuca gidilir.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk nn terimin toplamı Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülü ile hesaplanır ve ardışık terimler toplamı arasındaki fark Sn−Sn−1=anS_n - S_{n-1} = a_n ilişkisiyle ifade edilir.
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic