\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin^2 x + \sin x - 1}{2\sin^2 x - 3\sin x + 1} limitini… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin^2 x + \sin x - 1}{2\sin^2 x - 3\sin x + 1}

limitinin değeri kaçtır?

$-3$ Answer
B
$-\frac{1}{3}$
C
$3$
D
$1$
E
$0$

Answer

Limit değeri -3 olarak bulunur.

Limit ifadesinde yerine yazma yapıldığında oluşan 0/0 belirsizliği, pay ve payda kısımlarının çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanın sadeleştirilmesi ve kalan ifadede limit değerinin hesaplanmasıyla çözülür. Sadeleştirilmiş ifade olan (sin x + 1) / (sin x - 1) limit noktasında -3 değerini verir.

Step-by-Step Solution

Limit ifadesinde x = \frac{\pi}{6} değerini yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.

Pay: 2(1/4) + 1/2 - 1 = 0, Payda: 2(1/4) - 3(1/2) + 1 = 0. Böylece 0/0 belirsizliği elde edilir.

Belirsizlik türünü tespit etmek ve çözüm stratejisi belirlemek için ilk adım olarak doğrudan yerine yazma uygulanır.

Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri çarpanlarına ayırın.

2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) ve 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = (2\sin x - 1)(\sin x - 1) olarak çarpanlarına ayrılır.

Belirsizliğe yol açan (2\sin x - 1) çarpanını sadeleştirebilmek için ifadeleri çarpanlarına ayırmak gerekir.

Ortak çarpanları sadeleştirin ve kalan ifadede x = \frac{\pi}{6} yazarak limiti hesaplayın.

\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x + 1}{\sin x - 1} = \frac{1/2 + 1}{1/2 - 1} = \frac{3/2}{-1/2} = -3 elde edilir.

Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanı ortadan kaldırıldıktan sonra fonksiyonun o noktadaki limiti kalan ifadenin değeriyle bulunur.

Key Concept

Trigonometrik ifadeler içeren limitlerde 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemi ile giderilmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic