\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)} limitinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)}

limitinin değeri kaçtır?

Doğru yanıt olan seçenek limit değerini

1

olarak belirtmektedir.

Limit ifadesinde yer alan belirsizliği gidermek üzere pay kısmındaki

\cos(2x)

terimi yarım açı formülüyle

(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))

olarak, paydadaki

1 - \tan(x)

terimi ise

\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}

olarak yazılır. İfadeler sadeleştirildiğinde limit

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos(x)(\cos(x) + \sin(x))

şekline dönüşür. Bu ifadede

x = \frac{\pi}{4}

değeri yerine yazıldığında sonuç

1

çıkmaktadır.

Belirsizlik kontrolünü yapalım.

x \to \frac{\pi}{4}

için hem pay

\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 0

hem de payda

1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0

değerini alır. Dolayısıyla

\frac{0}{0}

belirsizliği vardır.

Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik durumunu tespit etmek gerekir.

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek amacıyla trigonometrik özdeşlikleri kullanarak açalım.

Pay kısmındaki

\cos(2x)

ifadesi iki kare farkı biçiminde

\cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))

olarak yazılır. Paydadaki

\tan(x)

ise

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

biçimine dönüştürülerek payda eşitlenir ve

1 - \tan(x) = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}

elde edilir.

Belirsizliği ortadan kaldırmak için ortak çarpanları bulup sadeleştirmek gerekir.

Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim.

\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}} = \cos(x)(\cos(x) + \sin(x))

Ortak olan

\cos(x) - \sin(x)

terimleri sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirilir.

Sadeleşmiş ifadede

x = \frac{\pi}{4}

değerini yerine yazarak limit değerini bulalım.

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos(x)(\cos(x) + \sin(x)) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 1

Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanır.

Trigonometrik limitlerde yarım açı ve temel özdeşlikler yardımıyla 0/0 belirsizliğinin giderilmesi.

Question