Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a
g(x)=−x2+2bx−3b−2g(x) = -x^2 + 2bx - 3b - 2
parabolleri veriliyor.

g(x)g(x) parabolünün simetri ekseni x=5x = 5 doğrusudur.

f(x)f(x) ve g(x)g(x) parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 olmak üzere, bu iki nokta arasındaki uzaklık 55 birimdir.

Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    16
  2. B
    20
  3. C
    22
  4. 24Answer
  5. E
    28

Answer

24
Doğru cevap 24'tür. g(x) parabolünün simetri ekseninden b = 5 elde edilir. Buradan g(x) parabolünün tepe noktası T_2(5, 8) olur. f(x) parabolünün tepe noktası ise T_1(2, a-4) olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısı kullanılarak (5-2)^2 + (8 - (a-4))^2 = 5^2 denklemi kurulur. Buradan (12-a)^2 = 16 elde edilerek a'nın alabileceği değerler 8 ve 16 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
g(x) parabolünün simetri ekseninden yararlanarak b parametresini bulma
b = 5
Bir parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) doğrusudur. g(x) = -x^2 + 2bx - 3b - 2 parabolü için simetri ekseni x = -2b / (2 * -1) = b olur. Soruda bu eksen x = 5 olarak verildiğinden b = 5 bulunur.
2
g(x) parabolünün tepe noktası T_2(r_2, k_2) koordinatlarını hesaplama
T_2(5, 8)
b = 5 değeri fonksiyonda yerine yazılırsa g(x) = -x^2 + 10x - 17 elde edilir. Tepe noktasının apsisi r_2 = 5 olup, ordinatı k_2 = g(5) = -5^2 + 10(5) - 17 = 8 olarak bulunur.
3
f(x) parabolünün tepe noktası T_1(r_1, k_1) koordinatlarını a cinsinden hesaplama
T_1(2, a-4)
f(x) = x^2 - 4x + a parabolünün simetri ekseni r_1 = -(-4) / (2 * 1) = 2 olur. Tepe noktasının ordinatı k_1 = f(2) = 2^2 - 4(2) + a = a - 4 bulunur.
4
Tepe noktaları arasındaki uzaklığı 5 birime eşitleyerek a değerlerini bulma
a = 8 ve a = 16
T_1(2, a-4) ve T_2(5, 8) noktaları arasındaki uzaklık formülü: d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (8 - (a - 4))^2} = 5 şeklindedir. Her iki tarafın karesi alınarak 3^2 + (12 - a)^2 = 25 denklemi elde edilir. Buradan (12 - a)^2 = 16 olur. Bu durumda 12 - a = 4 veya 12 - a = -4 olup a = 8 veya a = 16 bulunur.
5
a'nın alabileceği farklı değerlerin toplamını bulma
24
Bulunan a değerleri 8 ve 16'dır. Bu değerlerin toplamı 8 + 16 = 24 olarak elde edilir.

Key Concept

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic