Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2
eğrisini x=1x = 1 apsisli noktasında kesmektedir.

Buna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    -8
  2. B
    0
  3. C
    2
  4. 4Answer
  5. E
    7

Answer

Parabolün belirtilen noktasındaki teğet doğrusunun denklemi kurulup kesişim noktası olan (1,1)(1, 1) yerine yazıldığında bilinmeyen parametre 4 olarak bulunur.
Parabolün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(2)=1f'(2) = 1 ve teğet noktası (2,k−2)(2, k-2)'dir. Buradan teğet doğrusunun denklemi y=x+k−4y = x + k - 4 olarak elde edilir. Bu doğru, g(x)g(x) eğrisini x=1x = 1 apsisli noktada kestiğine göre kesim noktası olan (1,g(1))=(1,1)(1, g(1)) = (1, 1) noktasını sağlamalıdır. Denklemde yerleştirildiğinde 1=1+k−41 = 1 + k - 4 eşitliğinden k=4k = 4 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k fonksiyonunun türevi alınır ve teğet noktasının apsisi olan x=2x = 2 değeri türevde yerine yazılarak teğet doğrusunun eğimi (mm) bulunur.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 ve m=f′(2)=2(2)−3=1m = f'(2) = 2(2) - 3 = 1 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
f(x)f(x) parabolünün üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir.
x=2x = 2 için y0=f(2)=22−3(2)+k=k−2y_0 = f(2) = 2^2 - 3(2) + k = k - 2 olup teğet noktası (2,k−2)(2, k-2) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ihtiyaç vardır.
3
Eğimi m=1m = 1 olan ve (2,k−2)(2, k-2) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(k−2)=1⋅(x−2)  ⟹  y=x+k−4y - (k - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + k - 4 elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) uygulanır.
4
Teğet doğrusunun g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2 eğrisini kestiği x=1x = 1 apsisli noktanın y-koordinatı hesaplanır ve bu nokta teğet doğrusunun denkleminde yerine yazılır.
g(1)=13−2(1)2+2=1g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2 = 1 olduğundan kesişim noktası (1,1)(1, 1)'dir. Doğru denkleminde yerine yazıldığında 1=1+k−4  ⟹  k=41 = 1 + k - 4 \implies k = 4 bulunur.
Kesişim noktası hem teğet doğrusunun hem de g(x)g(x) eğrisinin üzerinde yer aldığından her iki denklemi de sağlamalıdır.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu kullanılarak bir eğriye teğet olan doğrunun eğimini ve denklemini bulma, ardından bu doğrunun başka bir eğriyle kesişim noktasını kullanarak bilinmeyen parametreyi hesaplama.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic