Examkin

Question

Difficulty: HardLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−2(x2−10x+21)+log⁡11−x(x2−7x)f(x) = \log_{x - 2}(x^2 - 10x + 21) + \log_{11 - x}(x^2 - 7x)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    16
  3. 17Answer
  4. D
    27
  5. E
    35

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 17'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi (7,10)∪(10,11)(7, 10) \cup (10, 11) aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar sadece 88 ve 99 olup, toplamları 1717'dir. Dolayısıyla doğru yanıt 1717 değerini veren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci logaritma terimi olan log⁡x−2(x2−10x+21)\log_{x - 2}(x^2 - 10x + 21) ifadesinin tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulu: x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 ve x−2≠1  ⟹  x≠3x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3 olmalıdır. İçi koşulu: x2−10x+21>0  ⟹  (x−3)(x−7)>0  ⟹  x<3x^2 - 10x + 21 > 0 \implies (x - 3)(x - 7) > 0 \implies x < 3 veya x>7x > 7 olmalıdır. Bu koşulların kesişiminden birinci terimin tanım kümesi D1=(2,3)∪(7,∞)D_1 = (2, 3) \cup (7, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, içinin ise pozitif olması gerekir.
2
İkinci logaritma terimi olan log⁡11−x(x2−7x)\log_{11 - x}(x^2 - 7x) ifadesinin tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulu: 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 ve 11−x≠1  ⟹  x≠1011 - x \neq 1 \implies x \neq 10 olmalıdır. İçi koşulu: x2−7x>0  ⟹  x(x−7)>0  ⟹  x<0x^2 - 7x > 0 \implies x(x - 7) > 0 \implies x < 0 veya x>7x > 7 olmalıdır. Bu koşulların kesişiminden ikinci terimin tanım kümesi D2=(−∞,0)∪(7,10)∪(10,11)D_2 = (-\infty, 0) \cup (7, 10) \cup (10, 11) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, içinin ise pozitif olması gerekir.
3
İki terimin toplamının tanımlı olabilmesi için ortak tanım kümesini bulmak amacıyla D1D_1 ve D2D_2 kümelerinin kesişimini almak.
D1∩D2=((2,3)∪(7,∞))∩((−∞,0)∪(7,10)∪(10,11))D_1 \cap D_2 = ((2, 3) \cup (7, \infty)) \cap ((-\infty, 0) \cup (7, 10) \cup (10, 11)) kesişiminden en geniş tanım kümesi D=(7,10)∪(10,11)D = (7, 10) \cup (10, 11) olarak elde edilir.
Bir fonksiyon toplamının tanımlı olabilmesi için her iki fonksiyonun da aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
En geniş tanım kümesine dahil olan tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
D=(7,10)∪(10,11)D = (7, 10) \cup (10, 11) kümesindeki tam sayılar 88 ve 99 dur (1010 ve 1111 hariçtir). Bu değerlerin toplamı ise 8+9=178 + 9 = 17 olarak hesaplanır.
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamını bulmak için bu aralıklara düşen tam sayılar toplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve birden farklı, logaritma alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Toplam şeklindeki fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, terimlerin tanım kümelerinin kesişimidir.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi