Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)=min⁡(x2−4x+6, x+2)f(x) = \min(x^2 - 4x + 6, \ x + 2)
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [0,5][0, 5] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Answer: 9

Answer

Fonksiyonun alabileceği en büyük değer ile en küçük de��erin toplamı 9'dur.
Kesişim noktaları belirlendikten sonra [0,5][0, 5] aralığında fonksiyonun en küçük değerinin 22 (hem x=0x = 0 hem de x=2x = 2 için) ve en büyük değerinin 77 (x=5x = 5 için) olduğu tespit edilir. Bu iki değerin toplamı 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Grafiklerin kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki ifadeyi birbirine eşitleyin.
x2−4x+6=x+2  ⟹  (x−1)(x−4)=0x^2 - 4x + 6 = x + 2 \implies (x - 1)(x - 4) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=1x = 1 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Fonksiyonun hangi aralıklarda hangi kuralı takip edeceğini belirlemek için kesişim noktaları kritik sınırlardır.
2
Aralıkları parçalara ayırarak fonksiyonun kurallarını belirleyin.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)=x+2f(x) = x + 2, [1,4][1, 4] aralığında f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6, [4,5][4, 5] aralığında f(x)=x+2f(x) = x + 2 olur.
Minimum fonksiyonunun tanımı gereği, her aralıkta görüntüsü daha küçük olan fonksiyon kuralı seçilir.
3
Her alt aralıkta en büyük ve en küçük değerleri inceleyin.
[0,1][0, 1] aralığında değerler 22 ile 33 arasındadır. [1,4][1, 4] aralığında tepe noktasında en küçük değer 22 olur. [4,5][4, 5] aralığında değerler 66 ile 77 arasındadır.
Alt aralıklardaki yerel ekstremumları ve sınır değerlerini belirlemek genel maksimum ve minimumu bulmayı sağlar.
4
Genel maksimum ve minimum değerleri belirleyip toplayın.
En büyük değer 77, en küçük değer 22 olup toplamları 7+2=97 + 2 = 9 bulunur.
Tüm alt aralıklardaki en büyük ve en küçük değerlerin karşılaştırılmasıyla mutlak ekstremum değerlerine ulaşılır.

Key Concept

Parçalı tanımlanan veya iki fonksiyonun minimumu/maksimumu şeklinde verilen fonksiyonların, sınır noktaları ve kritik noktaları (kesişim noktaları ve parabol tepe noktası) incelenerek en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

More questions from this topic