Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x2−6x+5,x<4−x2+10x−17,x≥4f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 5, & x < 4 \\ -x^2 + 10x - 17, & x \ge 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [1,7][1, 7] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

  1. A
    1
  2. 4Answer
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    11

Answer

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 4'tür.
Fonksiyonun [1,4)[1, 4) aralığındaki parçası kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir ve en küçük değerini tepe noktası olan x=3x=3'te alır; bu değer −4-4'tür. [4,7][4, 7] aralığındaki parçası ise kolları aşağı doğru olan bir parabol belirtir ve en büyük değerini tepe noktası olan x=5x=5'te alır; bu değer 88'dir. Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı 8+(−4)=48 + (-4) = 4 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun birinci parçasını tanımlı olduğu aralıkta incelemek.
x<4x < 4 için f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 kuralı geçerlidir. Bu bir paraboldür ve tepe noktasının apsisi r=−−62(1)=3r = -\frac{-6}{2(1)} = 3 olarak bulunur. 3∈[1,4)3 \in [1, 4) olduğundan, fonksiyon bu aralıktaki en küçük değerini tepe noktasında alır. Bu değer f(3)=32−6(3)+5=−4f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = -4'tür. Aralığın sınır değerleri ise f(1)=0f(1) = 0 ve x→4−x \to 4^- için f(x)→−3f(x) \to -3'tür.
Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktalarında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
2
Fonksiyonun ikinci parçasını tanımlı olduğu aralıkta incelemek.
x≥4x \ge 4 için f(x)=−x2+10x−17f(x) = -x^2 + 10x - 17 kuralı geçerlidir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r=−102(−1)=5r = -\frac{10}{2(-1)} = 5 olarak bulunur. 5∈[4,7]5 \in [4, 7] olduğundan, kollar aşağı doğru olduğu için fonksiyon bu aralıktaki en büyük değerini tepe noktasında alır. Bu değer f(5)=−(5)2+10(5)−17=8f(5) = -(5)^2 + 10(5) - 17 = 8'dir. Aralığın sınır değerleri ise f(4)=7f(4) = 7 ve f(7)=−(7)2+10(7)−17=4f(7) = -(7)^2 + 10(7) - 17 = 4'tür.
Tepe noktası incelenen aralığın içinde yer aldığı için bu noktadaki ordinat değeri yerel ve mutlak maksimum adayıdır.
3
Tüm aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri belirleyip toplamı hesaplamak.
Fonksiyonun [1,7][1, 7] aralığındaki en küçük değeri −4-4 (x = 3 noktasında) ve en büyük değeri 88 (x = 5 noktasında) olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı 8+(−4)=48 + (-4) = 4 olur.
İki parçadan elde edilen tüm olası ekstremum değerler karşılaştırılarak mutlak maksimum ve mutlak minimum değerler bulunur.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonların belirli bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için her parçanın tepe noktası ve sınır değerleri ayrı ayrı incelenmelidir.

Alternative Method

Koordinat düzleminde [1,7][1, 7] aralığında fonksiyonun grafiği taslak olarak çizilebilir. x∈[1,4)x \in [1, 4) için tepe noktası (3,−4)(3, -4) olan ve (1,0)(1, 0) ile (4,−3)(4, -3) noktalarından geçen parabol çizilir. x∈[4,7]x \in [4, 7] için ise tepe noktası (5,8)(5, 8) olan ve (4,7)(4, 7) ile (7,4)(7, 4) noktalarından geçen aşağı yönlü parabol çizilir. Grafik üzerinde en çukur noktanın y=−4y = -4 seviyesinde, en tümsek noktanın ise y=8y = 8 seviyesinde olduğu doğrudan görülür.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

More questions from this topic