Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0
x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 9

Answer

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Birinci eşitsizlikten (−1,7)(-1, 7) aralığı elde edilir. İkinci eşitsizlikten ise payda kökü hariç tutularak (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] aralığı bulunur. İki kümenin kesişimi (3,5](3, 5] yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki xx tam sayıları 44 ve 55 olup toplamları 99'dur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizlik olan x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0 ifadesinin köklerini bulun.
Kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=7x_2 = 7 olarak bulunur.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve işaret değişim noktalarını belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
2
İkinci eşitsizlik olan x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0 ifadesinin pay ve paydasındaki kökleri bulun.
Payın kökleri x=−2x = -2 ve x=5x = 5, paydanın kökü ise x=3x = 3 olarak elde edilir.
Rasyonel ifadenin kritik noktalarını tespit ederek işaret tablosunu oluşturmak gerekir.
3
Eşitsizlikler için işaret tablosu oluşturup çözüm aralıklarını belirleyin.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi (−1,7)(-1, 7) açık aralığıdır. İkinci eşitsizlikte paydanın kökü olan x=3x = 3 ifadesi tanımsızlık oluşturduğundan dahil edilmeden elde edilen çözüm kümesi (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] yarı açık aralığıdır.
Her bir eşitsizliği sağlayan gerçel sayı bölgelerini net olarak ortaya koymak için.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini (ortak çözüm kümesini) alın.
Kesi��im kümesi (3,5](3, 5] yarı açık aralığı olarak bulunur.
Sistemdeki tüm eşitsizliklerin aynı anda sağlanması gerektiği için ortak bölgeyi bulmamız gerekir.
5
Çözüm kümesindeki xx tam sayılarını toplayın.
4+5=94 + 5 = 9 elde edilir.
Soru kökünde istenen nihai sayısal değere ulaşmak için.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu oluşturularak çözülmesi ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri