Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b parabolü ile g(x)=cxg(x) = \frac{c}{x} eğrisi x=1x = 1 apsisli ortak noktasında birbirine teğettir. Bu ortak teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 88 olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Answer: 7

Answer

a + b + c toplamının doğru değeri 7'dir.
Ortak teğet noktasında fonksiyonların değerleri ve türevleri eşittir. Buradan elde edilen denklemler ve teğet doğrusunun y-eksenini kestiği nokta kullanılarak a, b ve c değerleri sırasıyla -6, 9 ve 4 olarak bulunur. Toplamları ise 7'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eğrilerin x=1x = 1 apsisli ortak noktadaki değerlerini eşitleyin.
f(1)=g(1)  ⟹  1+a+b=c  ⟹  a+b−c=−1f(1) = g(1) \implies 1 + a + b = c \implies a + b - c = -1
Teğet noktasında her iki fonksiyonun da y-değerleri birbirine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonların türevlerini alıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimlerini eşitleyin.
f′(x)=2x+a  ⟹  f′(1)=2+af'(x) = 2x + a \implies f'(1) = 2 + a ve g′(x)=−cx2  ⟹  g′(1)=−cg'(x) = -\frac{c}{x^2} \implies g'(1) = -c olur. Eğimler eşit olduğundan 2+a=−c  ⟹  a+c=−22 + a = -c \implies a + c = -2 elde edilir.
Eğriler teğet noktasında ortak teğet doğrusuna sahip olduklarından türev değerleri aynı olmalıdır.
3
Ortak teğet doğrusunun denklemini yazın ve yy eksenini kestiği noktayı bulun.
Teğet noktası (1,c)(1, c) ve eğim m=−cm = -c olduğundan teğet doğrusunun denklemi y−c=−c(x−1)  ⟹  y=−cx+2cy - c = -c(x - 1) \implies y = -cx + 2c olur. x=0x = 0 için y=2c=8  ⟹  c=4y = 2c = 8 \implies c = 4 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği nokta olan ordinat değerini (8) kullanarak c sabitini elde etmek için.
4
aa, bb ve istenen toplamı hesaplayın.
c=4c = 4 ise a+4=−2  ⟹  a=−6a + 4 = -2 \implies a = -6 olur. a+b−c=−1  ⟹  −6+b−4=−1  ⟹  b=9a + b - c = -1 \implies -6 + b - 4 = -1 \implies b = 9 bulunur. Buradan a+b+c=−6+9+4=7a + b + c = -6 + 9 + 4 = 7 elde edilir.
Bulunan parametreleri yerine koyarak nihai toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, iki eğrinin birbirine teğet olma koşulları ve teğet doğrusu denklemi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic