Examkin

Question

Difficulty: HardTers Trigonometrik Fonksiyonlar
f(x)=cos⁡(arcsin⁡(x)+arccos⁡(x2))f(x) = \cos\left(\arcsin(x) + \arccos(x^2)\right)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f(x)=0f(x) = 0 denklemini sağlayan xx ger��el sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. 0Answer
  4. D
    1
  5. E
    2

Answer

Denklemi sağlayan xx değerlerinin toplamı 00 olur.
Denklemin tüm gerçel kökleri −1-1, 00 ve 11 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 00 olduğundan, sıfır değerini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirleme ve cos⁡\cos fonksiyonunun sıfır olduğu genel şartı yazma.
xx değişkeni [−1,1][-1, 1] aralığında olmalıdır. f(x)=0f(x) = 0 olması için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)\arccos(x^2) + \arcsin(x) ifadesi cos⁡\cos fonksiyonunu sıfır yapan bir açıya eşit olmalıdır.
arcsin⁡(x)\arcsin(x) ve arccos⁡(x2)\arccos(x^2) fonksiyonlarının tanımlı olması için xx ve x2x^2 değerleri [−1,1][-1, 1] aralığında yer almalıdır.
2
Açının alabileceği değer aralığını belirleme.
−π2≤arcsin⁡(x)≤π2-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x) \le \frac{\pi}{2} ve 0≤arccos⁡(x2)≤π0 \le \arccos(x^2) \le \pi olduğundan, bu iki ifadenin toplamı olan θ\theta açısı [−π2,3π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındadır. Bu aralıkta cos⁡(θ)=0\cos(\theta) = 0 şartını sağlayan θ\theta değerleri −π2-\frac{\pi}{2}, π2\frac{\pi}{2} ve 3π2\frac{3\pi}{2} olur.
Ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerinin sınırları kullanılarak toplamın alabileceği tüm olası a��ılar bulunur.
3
Belirlenen açı değerleri için xx denklemlerini çözme.
θ=−π2\theta = -\frac{\pi}{2} için x=−1x = -1 bulunur (çünkü arcsin⁡(−1)=−π2\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} ve arccos⁡(1)=0\arccos(1) = 0). θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} için gerçel kök yoktur. θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)=π2\arccos(x^2) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} denkleminden arccos⁡(x2)=arccos⁡(x)\arccos(x^2) = \arccos(x) elde edilir. Buradan x2=xx^2 = x denklemi çözülerek x=0x = 0 ve x=1x = 1 bulunur.
Ters trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri ve özdeşlikleri (arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}) kullanılarak gerçel kökler tespit edilir.
4
Bulunan tüm gerçel kökleri toplayarak sonucu bulma.
Gerçel kökler −1-1, 00 ve 11 olup, toplamları (−1)+0+1=0(-1) + 0 + 1 = 0 bulunur.
Soruda istenen xx gerçel sayılarının toplamına ulaşılır.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile trigonometrik denklemlerin çözümü.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic