A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanl… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

kümesinin $4$ elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı $5$ ile tam bölünürken $8$ ile tam bölünmez?

Answer: 13 adet

Answer

Kümenin elemanlarının çarpımının 5 ile bölünüp 8 ile bölünmediği 4 elemanlı alt küme sayısı 13'tür.

Çarpımın 5 ile bölünebilmesi için kümede mutlaka 5 bulunmalıdır. 8 ile bölünmemesi için 8 kümede olmamalı ve kalan çift sayılardan 4 ile (2 veya 6) bir arada seçilmemelidir. Geriye kalan 6 elemandan seçilecek 3 eleman için

\binom{6}{3} = 20

durum vardır. Bu durumlardan 8 ile bölünen

\{2, 4, x\}

(4 durum) ve

\{4, 6, y\}

(3 durum) olmak üzere 7 durum çıkarıldığında geriye 13 adet küme kalır.

Step-by-Step Solution

Koşullara göre seçilecek eleman havuzunu belirleme

Seçilen alt kümede 5 elemanı bulunmalı, 8 elemanı ise bulunmamalıdır. Seçim yapılacak elemanlar

\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}

kümesidir.

Çarpımın 5 ile tam bölünmesi için asal çarpan olarak 5'in bulunması zorunludur. 8 ile tam bölünmemesi için ise doğrudan 8 çarpanı bulunmamalıdır.

Kalan elemanlarla yapılabilecek tüm 3 elemanlı seçimlerin sayısını bulma

Toplam olası seçim say��sı

\binom{6}{3} = 20

adettir.

4 elemanlı kümenin 1 elemanı (5 sayısı) sabitlendiği için kalan 6 elemandan 3 eleman seçilerek kombinasyon oluşturulur.

Çarpımı 8'in katı yapan istenmeyen durumları hesaplama

İstenmeyen durum sayısı

4 + 3 = 7

adettir.

Seçilen elemanlar arasında 4 ile 2'nin veya 4 ile 6'nın bir arada bulunması çarpımı 8'e tam bölünür hale getirir.

İstenen durum sayısını hesaplama

İstenen alt küme sayısı

20 - 7 = 13

adettir.

Tüm kombinasyonlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi kullanılmıştır.

Key Concept

Kombinasyon hesabı ile koşullu alt küme seçimi ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma prensibi.

Alternative Method

İkinci bir yol olarak,

\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}

kümesinden seçilecek 3 elemanı çift sayıların sayısına göre gruplandırarak seçebiliriz:
- Hiç çift sayı seçilmemesi (hepsi

\{1, 3, 7\}

arasından):

\binom{3}{3} = 1

durum.
- Sadece bir çift sayı seçilmesi (2, 4 veya 6'dan biri):

\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9

durum.
- İki çift sayı seçilmesi (çarpımın 8'e bölünmemesi için sadece

\{2, 6\}

çifti seçilebilir):

\binom{1}{1} \times \binom{3}{1} = 3

durum.
Toplam durum:

1 + 9 + 3 = 13

bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic