Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡6−x(x2−2x−8x−1)f(x) = \log_{6 - x}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    0
  3. -1Answer
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -1'dir.
Fonksiyonun tanımlı olması için taban şartlarından x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. İç kısmın pozitif olma şartından ise (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı bulunur. Bu iki küme kesiştirildiğinde elde edilen en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(4,5)∪(5,6)(-2, 1) \cup (4, 5) \cup (5, 6) olur. Bu kümedeki tam sayıların toplamı ise -1 ve 0'ın toplamından -1'dir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma tabanının tanımlı olma şartları belirlenir.
6−x>0  ⟹  x<66-x > 0 \implies x < 6 ve 6−x≠1  ⟹  x≠56-x \neq 1 \implies x \neq 5 olur.
Logaritma tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
2
Logaritmanın içinin pozitif olma şartı incelenir ve çarpanlarına ayrılır.
x2−2x−8x−1>0  ⟹  (x−4)(x+2)x−1>0\frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1} > 0 \implies \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 1} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritması alınan ifade daima pozitif olmak zorundadır.
3
Eşitsizliğin işaret tablosu oluşturulur.
Pay ve paydanın kökleri x=−2x = -2, x=1x = 1 ve x=4x = 4'tür. Eşitsizlik tablosu hazırlandığında pozitif olan bölgeler (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı olarak belirlenir.
Rasyonel ifadenin işaret değişim noktalarını görerek pozitif olduğu bölgeleri saptamak için kökler bulunur.
4
Tüm şartları sağlayan en geniş aralık (kesişim kümesi) oluşturulur.
x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 koşulları ile (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(4,5)∪(5,6)(-2, 1) \cup (4, 5) \cup (5, 6) olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için hem taban hem de iç koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Bu kümedeki tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.
Kümedeki tam sayılar sadece −1-1 ve 00'dır. Toplamları ise −1+0=−1-1 + 0 = -1 olarak hesaplanır.
Bizden fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemleri çözülürken paydanın kökleri asla çözüm kümesine dahil edilmez.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi