Examkin

Question

Difficulty: MediumToplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Bir kütüphanedeki dijital emanet dolaplarının şifreleri aşağıdaki kurallara göre belirlenmektedir:

- Şifreler 44 haneli olup, ilk iki hanesi sesli harflerden, son iki hanesi ise rakamlardan oluşmaktadır.
- Şifrede kullanılan harfler birbirinden farklı olmalıdır.
- Şifrede kullanılan rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
- Harfler A={A,E,I,O}A = \{A, E, I, O\} kümesinden, rakamlar ise B={1,2,3,4,5}B = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinden seçilecektir.
- Şifrenin en az bir rakamı tek sayı olmalıdır.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı dolap şifresi oluşturulabilir?

  1. A
    108
  2. B
    144
  3. 216Answer
  4. D
    252
  5. E
    288

Answer

İstenen kurallara uygun olarak oluşturulabilecek farklı dolap şifresi sayısı 216'dır.
Şifrenin ilk iki hanesi için seçilecek harfler AA kümesinden ve birbirinden farklı olmalıdır. Bu durumda ilk hane için 4, ikinci hane için 3 farklı seçenek bulunur ve harfler için 4×3=124 \times 3 = 12 farklı dizilim elde edilir. Son iki hanedeki rakamlar ise BB kümesinden ve birbirinden farklı olmalıdır. Tüm farklı rakam çiftlerinin sayısı 5×4=205 \times 4 = 20 olup, her iki rakamın da çift olduğu durum sayısı {2,4}\{2, 4\} kümesinden seçilen farklı rakamlarla 2×1=22 \times 1 = 2 tanedir. Dolayısıyla en az bir rakamı tek olan farklı rakam çiftlerinin sayısı 20−2=1820 - 2 = 18 olur. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam şifre sayısı 12×18=21612 \times 18 = 216 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Harf hanelerinin seçimi ve sıralanması hesaplanır.
4×3=124 \times 3 = 12 farklı harf çifti oluşturulabilir.
Harfler A={A,E,I,O}A = \{A, E, I, O\} kümesinden seçilecektir ve şifredeki harfler birbirinden farklı olmalıdır. İlk hane için 4, ikinci hane için 3 seçenek vardır.
2
Rakam haneleri için tüm olası farklı rakam çifti sayısı hesaplanır.
5×4=205 \times 4 = 20 farklı rakam çifti.
Rakamlar B={1,2,3,4,5}B = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinden seçilecektir ve rakamlar birbirinden farklı olmalıdır. İlk rakam hanesi için 5, ikinci rakam hanesi için 4 seçenek vardır.
3
En az bir tek rakam bulunması şartına uymayan durumlar (tüm rakamların çift olduğu durumlar) belirlenir.
Çift rakamlar {2,4}\{2, 4\} kümesinden seçilerek 2×1=22 \times 1 = 2 farklı rakam çifti oluşturulabilir.
İstenmeyen durum, şifrenin son iki hanesindeki rakamların her ikisinin de çift sayı olmasıdır. Bu durumda en az bir tek rakam koşulu sağlanmaz.
4
En az bir rakamı tek olan farklı rakam çifti sayısı bulunur.
20−2=1820 - 2 = 18 farklı durum.
Tüm farklı rakam çifti sayısından, her ikisinin de çift olduğu istenmeyen durumların sayısı çıkarılır.
5
Çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanarak toplam şifre sayısı hesaplanır.
12×18=21612 \times 18 = 216 farklı şifre.
Harf ve rakam seçimleri ardışık ve bağımsız işlemler olduğundan, her iki aşamanın durum sayıları çarpılır.

Key Concept

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

More questions from this topic