Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan
f(x)=2x2−(a+3)x+a−1f(x) = 2x^2 - (a + 3)x + a - 1
parabolünün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur.
Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı olan kk değeri kaçtır?

Answer: -4

Answer

Parabolün tepe noktasının ordinatı olan kk değeri −4-4 olarak bulunur.
Simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r = 2'dir. Parabolün katsayıları kullanılarak r=−b/(2acoeff)  ⟹  2=(a+3)/4r = -b/(2a_{coeff}) \implies 2 = (a+3)/4 denklemi kurulur. Buradan a=5a = 5 elde edilir. Parabol denklemi f(x)=2x2−8x+4f(x) = 2x^2 - 8x + 4 olur. Tepe noktasının ordinatı ise k=f(2)=2(2)2−8(2)+4=−4k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 4 = -4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Simetri ekseni denkleminden rr değerini belirleme
r=2r = 2
Bir parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsisinden geçen x=rx = r doğrusudur.
2
r=−b/(2a)r = -b/(2a) formülünü uygulayarak aa parametresini hesaplama
a=5a = 5
Tepe noktasının apsisi olan rr ile parabolün katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için 2=−(−(a+3))/(2⋅2)2 = -(-(a+3)) / (2 \cdot 2) eşitliği çözülür.
3
Bulunan aa değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini oluşturma
f(x)=2x2−8x+4f(x) = 2x^2 - 8x + 4
Tepe noktasının ordinatını hesaplayabilmek amacıyla fonksiyonun kuralın�� tam olarak elde etmek gerekir.
4
Tepe noktasının ordinatı olan kk değerini hesaplama
k=−4k = -4
Tepe noktasının ordinatı, tepe noktasının apsisinin fonksiyondaki görüntüsüne (f(r)f(r)) eşittir.

Key Concept

Parabolün simetri ekseni x=r=−b/(2a)x = r = -b/(2a) doğrusudur ve tepe noktasının ordinatı k=f(r)k = f(r) değeri ile bulunur.

Alternative Method

Parabol tepe noktası formunda f(x)=2(x−2)2+kf(x) = 2(x - 2)^2 + k olarak yazılabilir. Bu ifade açıldığında f(x)=2(x2−4x+4)+k=2x2−8x+8+kf(x) = 2(x^2 - 4x + 4) + k = 2x^2 - 8x + 8 + k elde edilir. Verilen f(x)=2x2−(a+3)x+a−1f(x) = 2x^2 - (a + 3)x + a - 1 ifadesiyle terim katsayıları karşılaştırıldığında, a+3=8  ⟹  a=5a + 3 = 8 \implies a = 5 bulunur. Sabit terimlerin eşitliğinden ise a−1=8+k  ⟹  5−1=8+k  ⟹  k=−4a - 1 = 8 + k \implies 5 - 1 = 8 + k \implies k = -4 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic