Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=ax+bx−1f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}

eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu, y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusuna paraleldir.

Bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Katsayıların çarpımı olan 2'dir.
Fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=−a−b(x−1)2f'(x) = \frac{-a-b}{(x-1)^2} elde edilir. x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusuna paralel olduğundan teğetin eğimi −3-3'tür. Buradan f′(2)=−a−b=−3  ⟹  a+b=3f'(2) = -a - b = -3 \implies a + b = 3 bağıntısına ulaşılır. Teğet doğrusunun denklemi y−f(2)=−3(x−2)  ⟹  y=−3x+6+f(2)y - f(2) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + f(2) olarak yazılır. Doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğuna göre 6+f(2)=11  ⟹  f(2)=56 + f(2) = 11 \implies f(2) = 5 olmalıdır. Fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak f(2)=2a+b=5f(2) = 2a + b = 5 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden a=2a = 2, b=1b = 1 ve çarpımları 22 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=a(x−1)−(ax+b)(1)(x−1)2=−a−b(x−1)2f'(x) = \frac{a(x-1) - (ax+b)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-a - b}{(x-1)^2}
Teğet doğrusunun eğimi, teğet noktasındaki türev değerine eşit olduğundan fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetin eğimini, paralel olduğu doğrunun eğimine eşitleyin.
f′(2)=−a−b(2−1)2=−a−b=−3  ⟹  a+b=3f'(2) = \frac{-a - b}{(2-1)^2} = -a - b = -3 \implies a + b = 3
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir ve y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusunun eğimi −3-3'tür.
3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun genel denklemini yazın.
y−f(2)=f′(2)(x−2)  ⟹  y−(2a+b)=−3(x−2)  ⟹  y=−3x+6+2a+by - f(2) = f'(2)(x - 2) \implies y - (2a + b) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 2a + b
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi yazma kuralı uygulanır.
4
Teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatını kullanarak ikinci bir denklem elde edin.
x=0x = 0 için y=6+2a+b=11  ⟹  2a+b=5y = 6 + 2a + b = 11 \implies 2a + b = 5
Bir doğrunun yy eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde xx yerine 00 yazılır.
5
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek katsayıları ve çarpımlarını bulun.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=52a + b = 5 denklem sisteminin ortak çözümünden a=2a = 2 ve b=1b = 1 elde edilir. Buradan çarpım a⋅b=2a \cdot b = 2 bulunur.
Sistemdeki birinci denklem ikinci denklemden çıkarılarak aa değeri, ardından yerine yazılarak bb değeri elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Alternative Method

Teğet doğrusunun denklemini eğimi −3-3 ve yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğu için doğrudan y=−3x+11y = -3x + 11 olarak yazabiliriz. Teğet noktasının apsisi 22 olduğundan bu noktadaki ordinat değeri y=−3(2)+11=5y = -3(2) + 11 = 5 olur. Dolayısıyla teğet noktası (2,5)(2, 5)'tir. Bu nokta eğri üzerinde olduğundan f(2)=5f(2) = 5 ve bu noktadaki türev değeri teğet doğrusunun eğimine eşit olduğundan f′(2)=−3f'(2) = -3 olmalıdır. Buradan aa ve bb değerlerine ulaşılarak çarpımları hesaplanır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic