Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve grafiği bir parabol olan f(x) = x^2 - 2(m-1)x + … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve grafiği bir parabol olan

f(x) = x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3m + 5

fonksiyonu veriliyor.

Bu parabolün tepe noktası $y = 2x - 3$ doğrusu üzerinde olduğuna göre, parabolün $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Parabol��n y eksenini kestiği noktanın ordinatı 5'tir.

Parabolün tepe noktası koordinatları genel parametrik formüllerle

T(m-1, -m+4)

olarak hesaplanır. Bu noktanın

y = 2x - 3

doğrusu üzerinde yer alması kuralından hareketle

m = 3

değeri elde edilir. Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı olan

f(0)

ifadesinde

m

yerine 3 yazıldığında doğru sonuç 5 olarak bulunur.

Parabolün tepe noktasının apsis (r) değerini formül yardımıyla belirleme

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2(m-1)}{2 \cdot 1} = m-1

Genel biçimi

ax^2+bx+c

olan bir parabolün simetri ekseni ve tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

formülüyle hesaplanır.

Tepe noktasının ordinat (k) değerini bulmak için apsis değerini fonksiyonda yerine yazma

k = f(m-1) = (m-1)^2 - 2(m-1)(m-1) + m^2 - 3m + 5

k = -(m-1)^2 + m^2 - 3m + 5

k = -(m^2 - 2m + 1) + m^2 - 3m + 5

k = -m + 4

Böylece tepe noktası

T(m-1, -m+4)

olarak elde edilir.

Parabol üzerindeki tepe noktasının koordinatları

T(r, f(r))

biçimindedir.

Tepe noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak m parametresini hesaplama

-m + 4 = 2(m-1) - 3

-m + 4 = 2m - 5

3m = 9 \implies m = 3

Bir noktanın bir doğrunun üzerinde olması, o noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.

Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplama

f(0) = m^2 - 3m + 5

m = 3

için:

f(0) = 3^2 - 3(3) + 5 = 9 - 9 + 5 = 5

Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır, dolayısıyla

f(0)

değeri aranır.

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının belirlenmesi ve geometrik olarak yorumlanması

Question