Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−2(x2−12x+325−x)f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{x^2 - 12x + 32}{5 - x}\right)

kuralı ile verilen f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. 13Answer
  2. B
    16
  3. C
    17
  4. D
    18
  5. E
    20

Answer

Logaritma tanım kuralları uygulandığında fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar 6 ve 7'dir, toplamları ise 13'tür.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu şartlar kesiştirildiğinde elde edilen (2,4)∖{3}∪(5,8)(2, 4) \setminus \{3\} \cup (5, 8) tanım kümesindeki tam sayılar sadece 66 ve 77'dir. Bu sayıların toplamı 1313 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Taban şartlarının belirlenmesi
x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ve x−2≠1⇒x≠3x - 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 3
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve birden farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın içinin pozitif olma şartının belirlenmesi
x2−12x+325−x>0⇒(x−4)(x−8)5−x>0\frac{x^2 - 12x + 32}{5 - x} > 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x-8)}{5-x} > 0
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Rasyonel eşitsizliğin işaret tablosunun yapılması
İşaret tablosu için kökler x=4x = 4, x=5x = 5 ve x=8x = 8 olarak bulunur. En büyük dereceli terimlerin işaretleri oranı negatif olduğundan tablo en sağda eksi (-) ile başlar: (8,∞)(8, \infty) aralığında (−)(-), (5,8)(5, 8) aralığında (+)(+), (4,5)(4, 5) aralığında (−)(-) ve (−∞,4)(-\infty, 4) aralığında (+)(+) olur. Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,4)∪(5,8)(-\infty, 4) \cup (5, 8) aralığıdır.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olduğu x aralıklarını belirlemek için işaret tablosu oluşturulur.
4
Elde edilen tüm şartların kesiştirilmesi
x>2x > 2, x≠3x \neq 3 ve x∈(−∞,4)∪(5,8)x \in (-\infty, 4) \cup (5, 8) şartlarının kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (2,4)∖{3}∪(5,8)(2, 4) \setminus \{3\} \cup (5, 8) olarak bulunur.
Logaritmanın hem taban hem de iç şartlarını aynı anda sağlayan en geniş tanım kümesini bulmak için aralıklar kesiştirilir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
(2,4)∖{3}(2, 4) \setminus \{3\} aralığında hiçbir tam sayı yoktur. (5,8)(5, 8) aralığındaki tam sayılar ise 66 ve 77'dir. Toplamları: 6+7=136 + 7 = 13 olur.
Tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamını bulmak amacıyla değerler belirlenir.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve birden farklı, içinin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Bu şartlar altındaki eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi en geniş tanım kümesini verir.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi