Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Türev Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(1)=3g(1) = 3
g′(1)=−2g'(1) = -2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
f(x)=x2⋅g(x)x−2f(x) = \frac{x^2 \cdot g(x)}{x - 2}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    1
  3. -7Answer
  4. D
    -1
  5. E
    5

Answer

-7
Verilen fonksiyonun türevini hesaplamak için bölüm türevi formülü uygulanır. Pay kısmındaki çarpım ifadesi için de çarpım türevi kuralı kullanılarak payın türevi 2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) olarak belirlenir. x=1x = 1 noktasında bu ifadeler ve g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerleri yerine yazıldığında payın türevi 44, paydanın türevi 11 ve paydanın kendisi −1-1 olur. Buradan bölüm türevi formülü uygulandığında doğru sonuç −7-7 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) ifadesini genel formda yazalım.
f′(x)=[x2⋅g(x)]′⋅(x−2)−[x2⋅g(x)]⋅(x−2)′(x−2)2f'(x) = \frac{[x^2 \cdot g(x)]' \cdot (x - 2) - [x^2 \cdot g(x)] \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi alınırken (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} kuralı uygulanmalıdır.
2
Pay kısmında yer alan çarpım durumundaki x2⋅g(x)x^2 \cdot g(x) ifadesinin türevini çarpım kuralını kullanarak hesaplayalım.
[x2⋅g(x)]′=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)[x^2 \cdot g(x)]' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
İki fonksiyonun çarpımının türevi (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv' kuralı ile bulunur.
3
Elde edilen türev ifadesinde x=1x = 1 değerini ve verilen g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerlerini yerine yazarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f′(1)=[2(1)g(1)+12g′(1)]⋅(1−2)−[12g(1)]⋅1(1−2)2=[2(3)+(−2)]⋅(−1)−3(−1)2=4⋅(−1)−31=−7f'(1) = \frac{[2(1)g(1) + 1^2 g'(1)] \cdot (1 - 2) - [1^2 g(1)] \cdot 1}{(1 - 2)^2} = \frac{[2(3) + (-2)] \cdot (-1) - 3}{(-1)^2} = \frac{4 \cdot (-1) - 3}{1} = -7
Tüm türev bileşenleri bulunduktan sonra aranan noktadaki türev değerine ulaşmak için değerler yerine yazılıp aritmetik işlemler tamamlanır.

Key Concept

Bölüm ve Çarpım Türev Kuralları
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Temel Türev Alma Kuralları

More questions from this topic