Examkin

Question

Difficulty: Very hardKombinasyon

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele 4 top çekiliyor.

Çekilen topların üzerindeki sayılar küçükten büyüğe doğru aa, bb, cc ve dd olarak sıralandığında;
b−a≥2ved−c≥2b - a \geq 2 \quad \text{ve} \quad d - c \geq 2
koşullarını sağlayan kaç farklı {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} kümesi seçilebilir?

Answer: 70

Answer

Koşulları sağlayan 70 farklı küme seçilebilir.
Seçilen sayıların farkları arasındaki koşulları temsil eden değişkenler oluşturularak problem, negatif olmayan tam sayı denkleminin çözüm sayısını bulma (ayraç yöntemi) problemine dönüştürülmüştür. Bu yöntemle (84)=70\binom{8}{4} = 70 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Seçilecek elemanları küçükten büyüğe a<b<c<da < b < c < d olarak sıralayarak aralarındaki farklar üzerinden yeni değişkenler tanımlamak.
x1=a−1≥0x_1 = a - 1 \geq 0, x2=b−a−1≥0x_2 = b - a - 1 \geq 0, x3=c−b−1≥0x_3 = c - b - 1 \geq 0, x4=d−c−1≥0x_4 = d - c - 1 \geq 0 ve x5=10−d≥0x_5 = 10 - d \geq 0.
Topların numaralarının 1 ile 10 arasında olmasını ve aralarındaki sıralamayı kontrol altında tutmak.
2
Tanımlanan fark değişkenlerinin toplamını hesaplamak.
x1+x2+x3+x4+x5=6x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 6.
Değişkenlerin toplamının sınır değerlere bağlı sabit bir sayı verdiğini göstermek.
3
b−a≥2b - a \geq 2 ve d−c≥2d - c \geq 2 koşullarını değişkenler cinsinden yazıp değişken dönüşümü uygulamak.
x2≥1x_2 \geq 1 ve x4≥1x_4 \geq 1 koşullarını sağlamak için y2=x2−1≥0y_2 = x_2 - 1 \geq 0 ve y4=x4−1≥0y_4 = x_4 - 1 \geq 0 dönüşümü yapılır. Yeni denklem: x1+y2+x3+y4+x5=4x_1 + y_2 + x_3 + y_4 + x_5 = 4 olur.
Denklemi tüm değişkenlerin negatif olmayan tam sayılar (doğal sayılar) olduğu standart forma indirgemek.
4
Elde edilen denklemin doğal sayılardaki çözüm sayısını ayraç (tekrarlı kombinasyon) yöntemi ile hesaplamak.
(4+5−15−1)=(84)=70\binom{4 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{8}{4} = 70.
n=4n=4 özdeş nesneyi r=5r=5 farklı kutuya dağıtma probleminin çözümünü bulmak.

Key Concept

Kombinasyon ve Ayraç Yöntemi (Tekrarlı Kombinasyon)
Rate this question

Topics

Kombinasyon

More questions from this topic