Examkin

Question

Difficulty: MediumDizi Kavramı ve Genel Terim

Genel terimi

an=n2−8n+122n−15a_n = \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15}

olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.

Buna göre, bu dizinin negatif olan terimlerinin sayısı kaçtır?

  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

Dizinin negatif olan terimlerinin sayısı 2'dir.
Doğru cevap olan 2 sayısı, dizinin negatif olan terimlerinin sayısıdır. Genel terimi sıfırdan küçük yapan pozitif tam sayıları bulmak için eşitsizlik çözüldüğünde, n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 aralıkları elde edilir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sırasıyla n=1n = 1 ve n=7n = 7 olup, negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük yapan eşitsizliği yazarız.
an<0  ⟹  n2−8n+122n−15<0a_n < 0 \implies \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15} < 0
Dizinin negatif terimleri, terim değerinin sıfırdan küçük olduğu durumlardır.
2
Eşitsizliğin pay ve payda kısımlarını sıfıra eşitleyerek köklerini buluruz.
Pay için: n2−8n+12=0  ⟹  (n−2)(n−6)=0  ⟹  n=2n^2 - 8n + 12 = 0 \implies (n-2)(n-6) = 0 \implies n = 2 ve n=6n = 6. Payda için: 2n−15=0  ⟹  n=7,52n - 15 = 0 \implies n = 7,5.
İşaret tablosu oluşturarak ifadenin işaretini incelemek için kritik noktaları belirleriz.
3
Bulduğumuz köklerle işaret tablosu oluşturup ifadenin işaretini inceleriz.
İşaret tablosuna göre, ifadenin negatif olduğu aralıklar n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının işaret değişimine göre negatif olduğu bölgeleri belirlemek gerekir.
4
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması şartını uygularız.
n<2n < 2 aralığından sadece n=1n = 1 pozitif tam sayısı gelir. 6<n<7,56 < n < 7,5 aralığından ise sadece n=7n = 7 pozitif tam sayısı gelir. Bu durumda negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olduğundan, çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları seçeriz.

Key Concept

Bir ifadenin dizi genel terimi olabilmesi ve terimlerinin incelenmesinde tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması şartı.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Dizi Kavramı ve Genel Terim

More questions from this topic