Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+7f(x) = x^2 - 5x + 7
parabolünün üzerindeki bir AA noktasından çizilen normal doğrusu, x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. 4Answer
  3. C
    7
  4. D
    12
  5. E
    1

Answer

Koordinatlar toplamı 4 olan seçenek doğrudur.
Parabolün üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, bu doğruya paralel olan x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusunun eğimine eşittir. Buradan normal doğrusunun eğimi mn=−1m_n = -1 bulunur. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Dolayısıyla teğet doğrusunun eğimi mt=1m_t = 1 olur. Fonksiyonun türevi alınıp teğet doğrusunun eğimine eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x0=3x_0 = 3 olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazılarak ordinat y0=1y_0 = 1 bulunur. Sonuç olarak koordinatlar toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini bulma
x+y−3=0  ⟹  y=−x+3x + y - 3 = 0 \implies y = -x + 3 olduğundan bu doğrunun eğimi −1-1'dir.
Normal doğrusu bu doğruya paralel olduğu için normal doğrusunun eğimi de mn=−1m_n = -1 olacaktır.
2
Teğet doğrusunun eğimini bulma
mt⋅mn=−1  ⟹  mt⋅(−1)=−1  ⟹  mt=1m_t \cdot m_n = -1 \implies m_t \cdot (-1) = -1 \implies m_t = 1 olarak bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine diktir ve eğimleri çarpımı −1-1'dir.
3
Teğet noktasının apsisini bulma
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olur. Değme noktasının apsisi x0x_0 ise, 2x0−5=1  ⟹  x0=32x_0 - 5 = 1 \implies x_0 = 3 elde edilir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının ordinatını ve koordinatlar toplamını bulma
y0=f(3)=32−5(3)+7=1y_0 = f(3) = 3^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. Koordinatlar toplamı: x0+y0=3+1=4x_0 + y_0 = 3 + 1 = 4 bulunur.
Değme noktası parabolün üzerinde olduğundan koordinatları parabol denklemini sağlar.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Normal doğrusunun eğimi ile teğet doğrusunun eğiminin çarpımı -1'dir.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic