Examkin

Question

Difficulty: HardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, A(1,−152)A\left(1, -\frac{15}{2}\right) noktasından f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne çizilen teğet doğrularının eğriye değme noktaları BB ve CC'dir.

Buna göre, bu parabolün BB ve CC noktalarındaki normal doğrularının kesim noktasının ordinatı kaçtır?

Answer: 12

Answer

Normal doğrularının kesim noktasının ordinatı 12'dir.
Parabolün teğet noktalarındaki normal doğrularının kesişim noktasının ordinatı ortak çözümle y=t12+t1t2+t22+1/2y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + 1/2 olarak bulunur. Burada Vieta formülleri kullanılarak t1+t2=2t_1+t_2 = 2 ve t1t2=−15/2t_1 t_2 = -15/2 değerleri yerine yazıldığında ordinat 12 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusunun denklemini parametrik olarak ifade etme
Değme noktası T(t,t2)T(t, t^2) için teğet denklemi: y=2tx−t2y = 2tx - t^2
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=2xf'(x) = 2x ifadesi teğetin eğimini verir.
2
Verilen noktanın teğet denklemini sağlaması koşulunu uygulama
2t2−4t−15=02t^2 - 4t - 15 = 0 denklemi ve kök ilişkileri: t1+t2=2t_1 + t_2 = 2, t1t2=−152t_1 t_2 = -\frac{15}{2}
Teğet doğrusu dışarıdaki A(1,−15/2)A(1, -15/2) noktasından geçmektedir.
3
Değme noktalarındaki normal doğrularının denklemlerini bulma
y=−12t1x+t12+12y = -\frac{1}{2t_1}x + t_1^2 + \frac{1}{2} ve y=−12t2x+t22+12y = -\frac{1}{2t_2}x + t_2^2 + \frac{1}{2}
Teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı −1-1'dir.
4
Normal doğrularının kesişim noktasının koordinat ilişkisini bulma
Kesişim noktasının apsisi x=−2t1t2(t1+t2)x = -2t_1 t_2(t_1 + t_2) ve ordinatı y=t12+t1t2+t22+12y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + \frac{1}{2}
İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözeriz.
5
Özdeşlikleri ve Vieta formüllerini kullanarak kesişim noktasının ordinatını hesaplama
y=12y = 12
t12+t1t2+t22=(t1+t2)2−t1t2t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - t_1 t_2 özdeşliğini ve elde edilen kök ilişkilerini yerine koyarak sonuca ulaşırız.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpıldığında -1 olur. Dışarıdaki bir noktadan çizilen teğetlerin kesim noktaları ve bu noktalardaki normallerin kesişim koordinatları Vieta formülleri (kök-katsayı ilişkileri) ile bulunabilir.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic