Examkin

Question

Difficulty: HardLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x=2x = 2 noktasında sürekli olan ff ve gg fonksiyonları için,
lim⁡x→2f(x)−g(x)x2−4=3\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - g(x)}{x^2 - 4} = 3
lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x2−4=1\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x^2 - 4} = 1
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→2f(x)⋅g(x)−16x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) - 16}{x - 2}
limitinin değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    8
  3. C
    12
  4. 16Answer
  5. E
    20

Answer

Limit değeri 16'dır.
Verilen fonksiyonların x=2x = 2 noktasındaki sürekliliği kullanılarak f(2)=g(2)=4f(2) = g(2) = 4 olduğu bulunur. Ardından limitin cebirsel özellikleri ve 0/00/0 belirsizliğini giderme yöntemleri uygulanarak aranan limitin değeri 16 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonların x=2x = 2 noktasındaki limitlerinin varlığını ve süreklilik özelliğini kullanarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerini bulunuz.
f(2)=4f(2) = 4 ve g(2)=4g(2) = 4 olarak elde edilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı çıkabilmesi için payın limitinin sıfır olması gerekir. Fonksiyonlar sürekli olduğundan limit değerleri fonksiyon değerlerine eşittir.
2
İtenen lim⁡x→2f(x)⋅g(x)−16x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) - 16}{x - 2} limit ifadesinde payı, verilen limit bilgilerini kullanabileceğimiz biçimde çarpanlarına ayırınız.
f(x)⋅g(x)−16=f(x)(g(x)−4)+4(f(x)−4)f(x) \cdot g(x) - 16 = f(x)(g(x) - 4) + 4(f(x) - 4) düzenlemesiyle ifade lim⁡x→2[f(x)g(x)−4x−2+4f(x)−4x−2]\lim_{x \to 2} \left[ f(x) \frac{g(x) - 4}{x - 2} + 4 \frac{f(x) - 4}{x - 2} \right] haline gelir.
Verilen limitler f(x)−4f(x) - 4 ve g(x)−4g(x) - 4 ifadelerinin x−2x-2 ile bölümünün limitlerine dönüştürülebilir.
3
Süreklilikten gelen lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x \to 2} f(x) = 4 bilgisini yerine yazarak ve verilen limitleri düzenleyerek sonucu hesaplayınız.
Limit değeri 4lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x−2=4⋅4=164 \lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x - 2} = 4 \cdot 4 = 16 olarak hesaplanır.
lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x2−4=1\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x^2 - 4} = 1 eşitliğinden lim⁡x→2f(x)+g(x)−8x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x - 2} = 4 olduğu bulunur.

Key Concept

Limit özelliklerinin ve sürekli fonksiyonların limit değerlerinin cebirsel işlemlerle hesaplanması.
Rate this question

Topics

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

More questions from this topic