Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Türev Alma Kuralları
Her x>1x > 1 gerçel sayısı için pozitif değerli ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(x)⋅g(x)=x3+4f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4
f(x)g(x)=x+1x−1\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x+1}{x-1}
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

  1. A
    −5-5
  2. 11Answer
  3. C
    22
  4. D
    52\frac{5}{2}
  5. E
    55

Answer

Aranan türev değeri 11 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm ilişkilerinden hareketle, çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak x=2x=2 noktasındaki türev değerleri için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur. Bu sistem çözüldüğünde türev değeri 11 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
x=2x = 2 noktasındaki f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerini bulmak için verilen eşitlikleri kullanırız.
f(2)⋅g(2)=23+4=12f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4 = 12 ve f(2)g(2)=2+12−1=3\frac{f(2)}{g(2)} = \frac{2+1}{2-1} = 3 elde edilir. Buradan f(2)=3g(2)f(2) = 3g(2) yazılabilir. Çarpım eşitliğinde yerine yazıldığında 3[g(2)]2=12  ⟹  [g(2)]2=43[g(2)]^2 = 12 \implies [g(2)]^2 = 4 olur. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan g(2)=2g(2) = 2 ve f(2)=6f(2) = 6 bulunur.
Türev kurallarını uyguladıktan sonra fonksiyonların o noktadaki değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.
2
Çarpım eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.
(f(x)⋅g(x))′=(x3+4)′  ⟹  f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=3x2(f(x) \cdot g(x))' = (x^3 + 4)' \implies f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 olur. x=2x = 2 için f′(2)g(2)+f(2)g′(2)=12  ⟹  2f′(2)+6g′(2)=12  ⟹  f′(2)+3g′(2)=6f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 12 \implies 2f'(2) + 6g'(2) = 12 \implies f'(2) + 3g'(2) = 6 denklemi elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerleri arasında birinci bağıntıyı kurmak için.
3
Bölüm eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.
(f(x)g(x))′=(x+1x−1)′  ⟹  f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2=1(x−1)−(x+1)1(x−1)2=−2(x−1)2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' \implies \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{1(x-1) - (x+1)1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} olur. x=2x = 2 için 2f′(2)−6g′(2)4=−2  ⟹  f′(2)−3g′(2)=−4\frac{2f'(2) - 6g'(2)}{4} = -2 \implies f'(2) - 3g'(2) = -4 denklemi elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerleri arasında ikinci bağıntıyı kurmak için.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözeriz.
f′(2)+3g′(2)=6f'(2) + 3g'(2) = 6 ve f′(2)−3g′(2)=−4f'(2) - 3g'(2) = -4 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2f′(2)=2  ⟹  f′(2)=12f'(2) = 2 \implies f'(2) = 1 bulunur.
f′(2)f'(2) değerini yalnız bırakıp sonucu hesaplamak için.

Key Concept

Çarpım ve bölüm kuralları kullanılarak türev alma ve türev değerlerini içeren denklem sistemlerini çözme.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Temel Türev Alma Kuralları

More questions from this topic