Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+1f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Answer: 1

Answer

Aranan a değeri 1 olarak bulunur.
Fonksiyonun x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi türev yardımıyla f′(1)=a−3f'(1) = a - 3 olarak bulunur. Bu noktadaki normal doğrusunun eğimi ise mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3} olur. Normal doğrusunun dik olduğu belirtilen y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusunun eğimi −2-2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır. Buradan −1a−3=12  ⟹  a=1-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} \implies a = 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türev kuralının bulunması
f′(x)=3x2−6x+af'(x) = 3x^2 - 6x + a
Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun birinci türevi alınır.
2
x=1x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin (mtm_t) hesaplanması
mt=a−3m_t = a - 3
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet eğimi yardımıyla normal doğrusunun eğiminin (mnm_n) belirlenmesi
mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3}
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir. Eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan mn=−1mtm_n = -\frac{1}{m_t} eşitliği kullanılır.
4
Verilen doğrunun eğiminden yararlanarak normal doğrusunun eğim değerinin bulunması
mn=12m_n = \frac{1}{2}
Normal doğrusu y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir. Eğimi −2-2 olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır.
5
Elde edilen eğim değerlerinin eşitlenmesi ve aa parametresinin çözülmesi
a=1a = 1
−1a−3=12-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} denklemi çözülerek aa parametresinin değeri belirlenir.

Key Concept

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Doğrularının Eğimleri)
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic