Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=x2−4x+cf(x) = x^2 - 4x + c
parabolünün xx eksenini kestiği noktalar AA ve BB'dir.

TABTAB üçgeninin alanı 2727 birimkare olduğuna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Answer: -5

Answer

c ger��el sayısı -5'tir.
Parabolün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur. Bu doğru, xx eksenini kesen AA ve BB noktalarının tam ortasından geçer. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd ise, kökler 2−d2-d ve 2+d2+d olup taban uzunluğu 2d2d olur. Fonksiyonda yerine yazıldığında d=4−cd = \sqrt{4-c} bulunur. Yükseklik ise tepe noktasının ordinatının mutlak değeri olan 4−c4-c birimdir. Üçgenin alanı 24−c⋅(4−c)2=27  ⟹  (4−c)3/2=27  ⟹  4−c=9  ⟹  c=−5\frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = 27 \implies (4-c)^{3/2} = 27 \implies 4-c = 9 \implies c = -5 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma
T(2,c−4)T(2, c-4)
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−42=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2 formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)+c=c−4k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) + c = c-4 olarak elde edilir.
2
Simetri ekseni yardımıyla kökler arasındaki uzaklığı ifade etme
∣AB∣=24−c|AB| = 2\sqrt{4-c}
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 doğrusudur. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd birim ise kökler x1=2−dx_1 = 2-d ve x2=2+dx_2 = 2+d olur. Taban uzunluğu ∣AB∣=∣x2−x1∣=2d|AB| = |x_2 - x_1| = 2d birimdir. Kök denklemi sağladığından f(2+d)=(2+d)2−4(2+d)+c=0  ⟹  d2−4+c=0  ⟹  d=4−cf(2+d) = (2+d)^2 - 4(2+d) + c = 0 \implies d^2 - 4 + c = 0 \implies d = \sqrt{4-c} elde edilir.
3
Üçgenin yüksekliğini belirleme
h=4−ch = 4-c
Parabol xx eksenini iki farklı noktada kestiği için tepe noktasının ordinatı negatif olmalıdır (c−4<0c-4 < 0). TABTAB üçgeninde [AB][AB] tabanına ait yükseklik, tepe noktasının xx eksenine olan uzaklığıdır: h=∣c−4∣=4−ch = |c-4| = 4-c olur.
4
Alan formülünü uygulayarak c değerini hesaplama
c=−5c = -5
Üçgenin alanı Alan(TAB)=∣AB∣⋅h2=24−c⋅(4−c)2=(4−c)3/2=27\text{Alan}(TAB) = \frac{|AB| \cdot h}{2} = \frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = (4-c)^{3/2} = 27 olarak verilmiştir. Buradan 4−c=272/3=9  ⟹  c=−54-c = 27^{2/3} = 9 \implies c = -5 bulunur.

Key Concept

Parabolün tepe noktası, simetri ekseni ve eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik ilişkiler.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic