Examkin

Question

Difficulty: EasyLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
f(x)={4−x,x<3x2−5,x≥3f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 3 \\ x^2 - 5, & x \geq 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için,

lim⁡x→1+f(4−x)\lim_{x \to 1^+} f(4 - x)

limitinin değeri kaçtır?

  1. 1Answer
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

Limit değeri 1'dir.
Limit değişkeni 11 değerine sağdan yaklaşırken x>1x > 1 olur. Buradan −x<−1-x < -1 ve 4−x<34 - x < 3 bulunur. Yani, limit 33 değerine soldan yaklaşmaktadır. Fonksiyonun 33 değerinden küçük sayılar için kuralı 4−x4 - x olduğundan, limit değeri 4−3=14 - 3 = 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Limit değişkeninin yaklaşım yönünü belirleme
x→1+x \to 1^+ iken x>1x > 1 olur. Eşitsizliği −1-1 ile çarparsak −x<−1-x < -1 elde edilir. Her iki tarafa 44 eklediğimizde 4−x<34 - x < 3 elde edilir. Bu durum, 4−x4 - x ifadesinin 33 değerine soldan yaklaştığını (4−x→3−4 - x \to 3^-) gösterir.
Bileşke ve dönüşüm içeren limitlerde içteki ifadenin limit noktasına hangi yönden yaklaştığını doğru tespit etmek gerekir.
2
Fonksiyonun parçalı tanımından uygun kuralı seçme
t=4−xt = 4 - x dönüşümü yapıldığında limit lim⁡t→3−f(t)\lim_{t \to 3^-} f(t) haline gelir. Tanıma göre t<3t < 3 için fonksiyon kuralı f(t)=4−tf(t) = 4 - t biçimindedir.
Soldan yaklaşımda (t→3−t \to 3^-) değişken değerleri 33 noktasından küçük olduğundan t<3t < 3 aralığına ait fonksiyon parçası seçilmelidir.
3
Limit değerini hesaplama
lim⁡t→3−(4−t)=4−3=1\lim_{t \to 3^-} (4 - t) = 4 - 3 = 1 bulunur.
Seçilen sürekli fonksiyonda tt yerine limit değeri olan 33 yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sağdan ve soldan limit kavramı ile değişken dönüşümü yardımıyla limit hesaplama
Rate this question

Topics

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

More questions from this topic