Examkin

Question

Difficulty: MediumLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={3−x2,x<1ax,x≥1f(x) = {\begin{cases} 3 - x^2, & x < 1 \\ ax, & x \geq 1 \end{cases}}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→2f(f(x−1))\lim_{x \to 2} f(f(x - 1))

limiti bir gerçel sayıya eşit olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -2
  2. -1Answer
  3. C
    1
  4. D
    2
  5. E
    3

Answer

a sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı -1 olur.
Limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Değişken değiştirme sonrası sol limit 2a olarak bulunur. Sağ limit ise a'nın işaretine göre incelenir: a > 0 iken limit a^2 olup a = 2 bulunur; a < 0 iken limit 3 - a^2 olup a = -3 bulunur. Bu değerlerin toplamı -1'dir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme ile limiti sadeleştirme
y=x−1y = x - 1 dönüşümü yapıldığında x→2x \to 2 iken y→1y \to 1 olur. Limit lim⁡y→1f(f(y))\lim_{y \to 1} f(f(y)) biçimine dönüşür. Limitin var olması için sol ve sa�� limitlerin eşit olması gerekir.
Yatay ötelemeyi ve değişken yaklaşımını daha kolay incelemek için.
2
Sol limit değerini hesaplama
y→1−y \to 1^- için f(y)=3−y2→2+f(y) = 3 - y^2 \to 2^+ olur. Buradan sol limit lim⁡u→2+f(u)=2a\lim_{u \to 2^+} f(u) = 2a elde edilir.
Limitin varlığı için sol limit değerini belirlemek gerekir.
3
Sağ limit değerini durum bazlı inceleme
y→1+y \to 1^+ için f(y)=ayf(y) = ay olur. a > 0 ise ay, a değerine sağdan yaklaşır; a < 0 ise ay, a değerine soldan yaklaşır. Bu iki durum ayrı ayrı incelenerek a = 2 ve a = -3 değerleri bulunur. a = 0 durumunda limitin olmadığı gösterilir.
Negatif bir katsayı ile çarpmanın yaklaşım yönünü tersine çevirdiğini göz önünde bulundurarak sağ limiti belirlemek için.
4
Bulunan değerleri toplayıp sonucu bulma
aa sayısının alabileceği değerler 22 ve −3-3 olup, toplamları 2+(−3)=−12 + (-3) = -1 bulunur.
Soru bizden a değerlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda yaklaşım yönünün belirlenmesi ve limit varlık koşulu
Rate this question

Topics

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

More questions from this topic