Examkin

Question

Difficulty: Very hardİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
(x2−6x+8)(x−5)2x2−9x+20≤0\frac{(x^2 - 6x + 8)(x - 5)^2}{x^2 - 9x + 20} \leq 0
x2−2x−15x+1≤0\frac{x^2 - 2x - 15}{x + 1} \leq 0

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplam�� kaçtır?

Answer: 5

Answer

Eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 5'tir.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi [2,4)∪(4,5)[2, 4) \cup (4, 5) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3 olup, toplamları 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizli��in pay ve paydasındaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
Pay: (x−2)(x−4)(x−5)2(x-2)(x-4)(x-5)^2, Payda: (x−4)(x−5)(x-4)(x-5) olur. Eşitsizlik (x−2)(x−4)(x−5)2(x−4)(x−5)≤0\frac{(x-2)(x-4)(x-5)^2}{(x-4)(x-5)} \leq 0 halini alır. Tanımlılık için payda sıfırdan farklı olmalıdır, yani x≠4x \neq 4 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır.
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi bulunurken öncelikle ifadelerin en sade hali elde edilmeli ve tanımsızlık oluşturan noktalar belirlenmelidir.
2
Birinci eşitsizliği sadeleştirerek çözüm kümesini bulalım.
x≠4x \neq 4 ve x≠5x \neq 5 koşulu altında, ortak olan (x−4)(x-4) ve bir adet (x−5)(x-5) çarpanları sadeleşir. Eşitsizlik (x−2)(x−5)≤0(x-2)(x-5) \leq 0 biçimine dönüşür. Buradan çözüm aralığı [2,5][2, 5] olarak bulunur. 44 ve 55 değerleri hariç tutulduğunda birinci eşitsizliğin çözüm kümesi C\c1=[2,5)∖{4}Ç_1 = [2, 5) \setminus \{4\} olur.
Sadeleşen çarpanlar ifadenin işaretini değiştirmese de tanımsızlık sınırlarını belirler.
3
İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayıralım ve işaret tablosunu oluşturalım.
Pay çarpanlarına ayrıldığında (x−5)(x+3)(x-5)(x+3) elde edilir. Eşitsizlik (x−5)(x+3)x+1≤0\frac{(x-5)(x+3)}{x+1} \leq 0 olur. Kökler x=−3x = -3, x=−1x = -1 (payda kökü, tanımsız) ve x=5x = 5 şeklindedir. İşaret tablosu yapıldığında negatif olan aralıklar C\c2=(−∞,−3]∪(−1,5]Ç_2 = (-\infty, -3] \cup (-1, 5] olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydanın kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alalım.
C\c1∩C\c2=[2,5)∖{4}Ç_1 \cap Ç_2 = [2, 5) \setminus \{4\} kesişim kümesi elde edilir.
Eşitsizlik sistemlerinde her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan ortak bölge çözüm kümesini oluşturur.
5
Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplayalım.
[2,4)∪(4,5)[2, 4) \cup (4, 5) aralığındaki tam sayılar yalnızca 22 ve 33'tür. Toplamları 2+3=52 + 3 = 5 olur.
44 değeri paydayı sıfır yaptığı için, 55 değeri ise birinci eşitsizlikte açık uçlu sınır olduğu için çözüm kümesine dahil edilmez.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin bulunması ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme yaparken payda köklerinin hariç tutulması.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri