Examkin

Question

Difficulty: MediumDizi Kavramı ve Genel Terim
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=log⁡3(n2−10n+34)a_n = \log_3(n^2 - 10n + 34)
olarak veriliyor.
Buna göre, bu dizinin en küçük terimi kaçtır?
  1. 22Answer
  2. B
    99
  3. C
    log⁡3(25)\log_3(25)
  4. D
    log⁡3(34)\log_3(34)
  5. E
    log⁡3(109)\log_3(109)

Answer

Dizinin en küçük terimi 2'dir.
Dizinin genel terimindeki ifadenin en küçük değeri, parabolün tepe noktası olan n = 5 pozitif tam sayısı için gerçekleşir. Bu noktadaki terimin değeri log_3(9) = 2 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin en küçük terimini bulmak için genel terimdeki logaritma fonksiyonunun iç kısmının en küçük değerini alması gerekir.
f(n) = n^2 - 10n + 34 ifadesinin minimum değeri bulunmalıdır.
Logaritma tabanı (3) 1'den büyük olduğu için, logaritmanın içerisindeki ifade kü��üldükçe genel değer de küçülür.
2
İkinci dereceden f(n) = n^2 - 10n + 34 fonksiyonunun tepe noktası apsisi (r) hesaplanır.
r = -(-10) / (2 * 1) = 5
Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
3
r = 5 de��eri bir pozitif tam sayı olduğu için dizi indisi olarak kullanılabilir. Bu değer genel terimde yerine yazılır.
a_5 = log_3(5^2 - 10 * 5 + 34) = log_3(25 - 50 + 34) = log_3(9)
Dizi tanım kümesi pozitif tam sayılardan oluşur ve n = 5 bu tanıma uygundur.
4
Elde edilen logaritma ifadesinin değeri hesaplanır.
log_3(9) = log_3(3^2) = 2
Logaritma tanımı gereği 3'ün karesi 9'dur, bu nedenle log_3(9) = 2 olur.

Key Concept

Bir dizinin en küçük terimini bulurken, genel terimi bir fonksiyon gibi düşünerek minimum noktası aranır. Ancak bulunacak minimum noktasının apsisi (n değeri) mutlaka bir pozitif tam sayı olmalıdır.
Rate this question

Topics

Dizi Kavramı ve Genel Terim

More questions from this topic