\log_2(4^x - 8) = x + 1 denklemini sağlayan x gerçel sayısı kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_2(4^x - 8) = x + 1

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayısı kaçtır?

Denklemi sağlayan x gerçel sayısı 2'dir.

Denklem logaritma tanımı kullanılarak

4^x - 8 = 2^{x+1}

şekline dönüştürülür. Burada

2^x = t

değişken değiştirmesi yapıldığında

t^2 - 2t - 8 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları

(t-4)(t+2) = 0

olup,

2^x

ifadesi negatif olamayacağından tek geçerli kök

t = 4

yani

x = 2

olur.

x=2

değeri logaritmanın içini pozitif yaptığı için denklemin gerçel köküdür.

Logaritma tanımı gereği denklemin tanımlı olması için gerekli olan koşulu belirleyin.

4^x - 8 > 0 \implies 4^x > 8 \implies 2^{2x} > 2^3 \implies x > \frac{3}{2}

olmalıdır.

Logaritması alınan ifade her zaman sıfırdan büyük olmalıdır.

Logaritmanın tanımını kullanarak denklemi üstel formda yazın.

4^x - 8 = 2^{x+1}

\log_a(b) = c \iff b = a^c

kuralı uygulanır.

2^x = t

değişken değiştirmesini uygulayarak denklemi ikinci dereceden denklem haline getirin.

t^2 - 2t - 8 = 0

(burada

t > 0

olmalıdır).

4^x = (2^x)^2 = t^2

2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t

yazabiliriz.

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak

t

değerlerini bulun.

(t - 4)(t + 2) = 0 \implies t = 4

veya

t = -2

bulunur.

Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

t

değerlerini yerine yazarak

x

değerlerini bulun ve tanım kümesini kontrol edin.

2^x = 4 \implies x = 2

t = -2

için

2^x = -2

denkleminin gerçel kökü yoktur.

x = 2

değeri

x > \frac{3}{2}

şartını sağladığı için tek çözümdür.

Üstel fonksiyonlar daima pozitif değerler alır ve bulunan kök tanım kümesi şartını sağlamalıdır.

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümü için logaritma tanımı, değişken değiştirme yöntemi ve tanım kümesi kontrolü.

Question