Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
xlog⁡2x=8x2x^{\log_2 x} = 8x^2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
  1. A
    2
  2. 4Answer
  3. C
    8
  4. D
    16
  5. E
    64

Answer

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 4'tür.
Verilen denklemde her iki tarafın 2 tabanında logaritması alındığında (log⁡2x)2=3+2log⁡2x(\log_2 x)^2 = 3 + 2\log_2 x eşitliğine ulaşılır. Burada log⁡2x=t\log_2 x = t değişken değiştirmesi yapıldığında t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri t=3t = 3 ve t=−1t = -1 olarak bulunur. Köklerin orijinal denklemdeki karşılıkları x=23=8x = 2^3 = 8 ve x=2−1=1/2x = 2^{-1} = 1/2 değerleridir. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi koşullarını sağladığından denklemin kökleridir. Bu değerlerin çarpımı ise 8⋅(1/2)=48 \cdot (1/2) = 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(xlog⁡2x)=log⁡2(8x2)\log_2\left(x^{\log_2 x}\right) = \log_2(8x^2)
Taban ve üs kısımlarında değişken bulunması nedeniyle, logaritmanın özelliklerini kullanarak üssü başa indirebilmek için her iki tarafın logaritması alınır.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirin.
(log⁡2x)⋅(log⁡2x)=log⁡28+log⁡2(x2)  ⟹  (log⁡2x)2=3+2log⁡2x(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = \log_2 8 + \log_2(x^2) \implies (\log_2 x)^2 = 3 + 2\log_2 x
log⁡a(bc)=c⋅log⁡ab\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b ve log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c kuralları uygulanarak üsler çarpan olarak başa alınır ve çarpım biçimindeki argümanlar toplama dönüştürülür.
3
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklem elde edin.
t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0
Ortak terim olan log⁡2x\log_2 x ifadesi yerine tt yazılarak denklem bilinen ikinci dereceden denklem formuna getirilir.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak tt değerlerini bulun.
(t−3)(t+1)=0  ⟹  t1=3 ve t2=−1(t - 3)(t + 1) = 0 \implies t_1 = 3 \text{ ve } t_2 = -1
Çarpımları -3 ve toplamları -2 olan sayılar -3 ve 1 olduğundan denklem çarpanlarına ayrılarak kökler hesaplanır.
5
tt değerlerini yerine koyarak xx değerlerini ve bunların çarpımını hesaplayın.
log⁡2x1=3  ⟹  x1=23=8\log_2 x_1 = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8
log⁡2x2=−1  ⟹  x2=2−1=12\log_2 x_2 = -1 \implies x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}
x1⋅x2=8⋅12=4x_1 \cdot x_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4
Bulunan tt değerleri tanım kümesi kontrolleri yapılarak (x>0x > 0 koşulunu her iki değer de sağlar) xx değerlerine dönüştürülür ve kökler çarpımı bulunur.

Key Concept

Üslü logaritmik denklemlerde her iki tarafın uygun tabanda logaritmasını alma ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla ikinci dereceden denklem çözümü yapma.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic