Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x(2x+3)=2\log_x(2x + 3) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi yalnızca 3 elemanından oluşur, yani tek elemanlıdır.
Logaritma tanım kümesi kuralları uygulandığında tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerektiği belirlenir. İkinci dereceden denklem çözümünden elde edilen köklerden x=−1x = -1 bu şartı ihlal ettiğinden elenir ve sadece x=3x = 3 kökü kalır. Bu durum çözüm kümesinin tek elemanlı olduğunu doğrular.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için gerekli şartları belirleyin.
Taban için x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır. Argüman için 2x+3>0  ⟹  x>−1,52x + 3 > 0 \implies x > -1,5 olmalıdır. Ortak tanım aralığı x∈(0,1)∪(1,∞)x \in (0, 1) \cup (1, \infty) şeklindedir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır.
2
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üslü biçime dönüştürün ve kökleri bulun.
x2=2x+3  ⟹  x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 Buradan x1=3x_1 = 3 ve x2=−1x_2 = -1 elde edilir.
log⁡g(f(x))=b  ⟺  gb=f(x)\log_g(f(x)) = b \iff g^b = f(x) dönüşüm kuralı uygulanmıştır.
3
Bulunan kökleri tanım kümesi sınırlarıyla karşılaştırın.
x=3x = 3 değeri tanım kümesindedir. x=−1x = -1 değeri ise taban şartını (x>0x > 0) sağlamadığı için elenir. Çözüm kümesi C\c={3}Ç = \{3\} olarak bulunur.
Bulunan köklerin logaritma fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta bulunması şarttır.

Key Concept

Logaritmik Denklemlerde Taban Tanım Kümesi ve Yalancı Kök Kontrolü
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic