Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k fonksiyonunun grafiğine orijinden (başlangıç noktasından) çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, kk kaçtır?

Answer: 4.25

Answer

Teğet doğrularının birbirine dik olmasını sağlayan kk değeri 4,254,25 (veya 174\frac{17}{4}) olarak bulunur.
Orijinden çizilen teğet doğrularının değme noktaları A(x0,y0)A(x_0, y_0) olsun. Orijinden geçen doğruların denklemi y=mxy = mx formundadır. Bu doğrular parabol ile teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen teğet eğimleri çarpımının −1-1 olması koşuluyla k=4,25k = 4,25 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet değme noktasını A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)) olarak tanımlayın.
Değme noktası A(x0,x02−4x0+k)A(x_0, x_0^2 - 4x_0 + k) olur.
Teğet denklemini türev yardımıyla kurabilmek için değme noktasını değişken cinsinden yazmamız gerekir.
2
Türev alarak değme noktasındaki teğetin eğimini bulun ve teğet doğrusunun denklemini yazın.
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olduğundan teğet doğrusu y−(x02−4x0+k)=(2x0−4)(x−x0)y - (x_0^2 - 4x_0 + k) = (2x_0 - 4)(x - x_0) şeklindedir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun orijinden (0,0)(0,0) geçtiği bilgisini kullanarak değme noktalarının apsislerini belirleyin.
x02=kx_0^2 = k denklemi elde edilir, buradan x1=kx_1 = \sqrt{k} ve x2=−kx_2 = -\sqrt{k} bulunur.
Çizilen teğet doğruları orijinden geçtiği için orijin koordinatları teğet doğrusu denklemini sağlamalıdır.
4
Bulunan apsis değerlerini türevde yerine yazarak teğetlerin eğimlerini hesaplayın ve diklik koşulunu uygulayın.
m1⋅m2=−1  ⟹  (2k−4)(−2k−4)=−1  ⟹  4k−16=1  ⟹  k=4,25m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (2\sqrt{k} - 4)(-2\sqrt{k} - 4) = -1 \implies 4k - 16 = 1 \implies k = 4,25 elde edilir.
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Key Concept

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemini bulma ve birbirine dik doğruların eğim ilişkisi
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic