Examkin

Question

Difficulty: HardEylemsizlik Momenti

Kütlesi önemsiz, kenar uzunluğu dd olan kare şeklindeki bir çerçevenin köşelerine sırasıyla K(m)K(m), L(2m)L(2m), M(m)M(m) ve N(2m)N(2m) kütleli noktasal cisimler yerleştirilmiştir.

Sistem, kare düzleminde bulunan üç farklı eksen etrafında döndürülmektedir:
- I1I_1: KK ve NN cisimlerinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momenti,
- I2I_2: KK ve MM cisimlerinden geçen köşegen ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti,
- I3I_3: LL ve NN cisimlerinden geçen köşegen ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti.

Buna göre; I1I_1, I2I_2 ve I3I_3 eylemsizlik momentleri arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. I1>I2>I3I_1 > I_2 > I_3Answer
  2. B
    I2>I1>I3I_2 > I_1 > I_3
  3. C
    I1=I2=I3I_1 = I_2 = I_3
  4. D
    I1>I3>I2I_1 > I_3 > I_2
  5. E
    I3>I2>I1I_3 > I_2 > I_1

Answer

Birinci durumdaki eylemsizlik momentinin en büyük, üçüncü durumdakinin ise en küçük olduğu sıralama doğrudur.
Noktasal cisimlerin eylemsizlik momenti I=m⋅r2I = m \cdot r^2 bağıntısı ile bulunur. Eksene olan dik uzaklıklar doğru belirlendiğinde; birinci eksen için I1=3md2I_1 = 3md^2, ikinci eksen için I2=2md2I_2 = 2md^2 ve üçüncü eksen için I3=md2I_3 = md^2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin büyüklük sıralaması birinci durumun en büyük, üçüncü durumun en küçük olduğunu gösteren ilişkidir.

Step-by-Step Solution

1
K ve N cisimlerinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momentini (I1I_1) hesaplamak.
I1=3md2I_1 = 3md^2
K(m)K(m) ve N(2m)N(2m) cisimleri doğrudan dönme ekseni üzerinde bulundukları için dik uzaklıkları sıfırdır ve eylemsizlik momentine katkı sağlamazlar. Eksene dik uzaklığı dd olan cisimler ise L(2m)L(2m) ve M(m)M(m) cisimleridir. Buradan I1=2m⋅d2+m⋅d2=3md2I_1 = 2m \cdot d^2 + m \cdot d^2 = 3md^2 bulunur.
2
K ve M cisimlerinden geçen köşegen ekseni etrafındaki eylemsizlik momentini (I2I_2) hesaplamak.
I2=2md2I_2 = 2md^2
K(m)K(m) ve M(m)M(m) cisimleri köşegen ekseni üzerinde olduğundan uzaklıkları sıfırdır. Eksene dik uzaklıkları kare köşegeninin yarısı olan d22\frac{d\sqrt{2}}{2} (veya d2\frac{d}{\sqrt{2}}) olan cisimler ise L(2m)L(2m) ve N(2m)N(2m) cisimleridir. Buradan I2=2m⋅(d2)2+2m⋅(d2)2=md2+md2=2md2I_2 = 2m \cdot \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2m \cdot \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = md^2 + md^2 = 2md^2 bulunur.
3
L ve N cisimlerinden geçen köşegen ekseni etrafındaki eylemsizlik momentini (I3I_3) hesaplamak.
I3=md2I_3 = md^2
L(2m)L(2m) ve N(2m)N(2m) cisimleri eksen üzerinde olduğundan katkıları sıfırdır. Eksene dik uzaklıkları d2\frac{d}{\sqrt{2}} olan cisimler ise K(m)K(m) ve M(m)M(m) cisimleridir. Buradan I3=m⋅(d2)2+m⋅(d2)2=12md2+12md2=md2I_3 = m \cdot \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 + m \cdot \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}md^2 + \frac{1}{2}md^2 = md^2 bulunur.
4
Hesaplanan eylemsizlik momentlerini karşılaştırarak sıralamak.
I1>I2>I3I_1 > I_2 > I_3
Eylemsizlik momentlerinin büyüklükleri sırasıyla 3md23md^2, 2md22md^2 ve md2md^2 olarak bulunduğundan doğru sıralama I1>I2>I3I_1 > I_2 > I_3 şeklindedir.

Key Concept

Noktasal cisimlerin oluşturduğu sistemlerde eylemsizlik momenti, her bir cismin kütlesi ile dönme eksenine olan dik uzaklığının karesinin çarpımlarının toplamına eşittir (I=∑miri2I = \sum m_i r_i^2).
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Eylemsizlik Momenti

More questions from this topic