Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a g(x) = -x^2 + 4ax - 4a^2 + 2a + 8 parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T_1 ve T_2 noktalarıdır. T_1 ve T_2 noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine göre, a gerçel sayısı kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a g(x) = -x^2 + 4ax - 4a^… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a

g(x) = -x^2 + 4ax - 4a^2 + 2a + 8

parabollerinin tepe noktaları sırasıyla

T_1

T_2

noktalarıdır.

$T_1$ ve $T_2$ noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine göre, $a$ gerçel sayısı kaçtır?

Parabollerin tepe noktalarının koordinatları belirlendikten sonra bu noktaların orijinle doğrusal olma koşulu sağlandığında elde edilen değer 2'dir.

Parabollerin tepe noktaları sırasıyla

T_1(a, 3a)

T_2(2a, 2a+8)

olarak bulunur. Bu iki nokta ve orijin

O(0,0)

doğrusal olduğundan,

OT_1

doğrusunun eğimi olan

\frac{3a}{a} = 3

OT_2

doğrusunun eğimi olan

\frac{2a+8}{2a}

değerine eşit olmalıdır. Buradan

6a = 2a + 8 \implies 4a = 8 \implies a = 2

elde edilir.

f(x)

parabolünün tepe noktası

T_1(r_1, k_1)

koordinatlarını bulma.

r_1 = -\frac{-2a}{2} = a

k_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 + 3a = 3a

olduğundan

T_1(a, 3a)

bulunur.

Bir parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

ve ordinatı

k = f(r)

formülleriyle hesaplanır.

g(x)

parabolünün tepe noktası

T_2(r_2, k_2)

koordinatlarını bulma.

r_2 = -\frac{4a}{2(-1)} = 2a

k_2 = g(2a) = -(2a)^2 + 4a(2a) - 4a^2 + 2a + 8 = 2a + 8

olduğundan

T_2(2a, 2a+8)

bulunur.

İkinci parabolün tepe noktasını bulmak için de aynı tepe noktası formülleri uygulanır.

T_1(a, 3a)

T_2(2a, 2a+8)

ve orijin

O(0,0)

noktalarının doğrusal olma koşulunu uygulama.

Orijinden geçen doğrunun eğimi sabit olduğundan

\frac{3a}{a} = \frac{2a+8}{2a}

eşitliği elde edilir. Buradan

3 = \frac{2a+8}{2a} \implies 6a = 2a + 8 \implies 4a = 8 \implies a = 2

olarak bulunur.

Üç noktanın doğrusal olması, bu noktalar arasında oluşturulan doğruların eğimlerinin eşit olmasını gerektirir.

Parabolün tepe noktası

T(r, k)

koordinatlarının bulunması ve koordinat sisteminde noktaların doğrusallığı ile ilişkilendirilmesi.

Estimated Time:2m 0s