Examkin

Question

Difficulty: Very hardSabit ve Eşit Diziler

x,yx, y ve kk birer tam sayı olmak üzere, genel terimi

an=x⋅n2+y⋅n+12n2−k⋅n+6a_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n + 12}{n^2 - k \cdot n + 6}

olan (an)(a_n) ifadesi sabit bir dizidir.

n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0

denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -8
  2. B
    8
  3. C
    9
  4. 16Answer
  5. E
    24

Answer

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 16'dır.
Doğru yanıt, sabit dizi tanımından hareketle katsayılar oranını kurup x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k eşitliklerini elde eden, ardından paydanın pozitif tam sayılarda sıfır olmaması gerektiği bilgisini kullanarak kökleri pozitif tam sayılar olan durumları eleyen ve geriye kalan negatif köklü durumlardan toplamı 16 bulan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranını eşitleyin.
x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k olarak bulunur.
Sabit dizilerde genel terimin değeri nn değişkeninden bağımsız olmalıdır. Bu nedenle, rasyonel ifadelerde pay ve paydanın katsayıları orantılı olmak zorundad��r.
2
x+y+kx + y + k ifadesini tek bir değişken cinsinden ifade edin.
x+y+k=2−2k+k=2−kx + y + k = 2 - 2k + k = 2 - k elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak çözümü tek bir bilinmeyen olan kk parametresine indirgemek.
3
n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0 denkleminin köklerinin tam sayı olma koşulunu analiz edin.
Kökler çarpımı n1⋅n2=6n_1 \cdot n_2 = 6 olmalıdır. Buradan kökler toplamı kk için olası tam sayı değerleri 7,5,−7,−57, 5, -7, -5 olarak bulunur.
Köklerin birer tam sayı olması, çarpımlarının 6 sayısının tam sayı bölenleri olmasını gerektirir.
4
Dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde (Z+\mathbb{Z}^+) tanımlı olması kuralını uygulayarak tanımsızlık yaratan kk değerlerini eleyin.
k=5k = 5 ve k=7k = 7 değerleri elenir; geriye yalnızca k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 kalır.
k=5k = 5 için paydanın kökleri 22 ve 33, k=7k = 7 için paydanın kökleri 11 ve 66 olur. Bu pozitif tam sayı değerlerinde dizinin terimleri tanımsız kalacağı için bu durumlar bir dizi belirtmez. k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 için ise kökler negatif tam sayılar olduğundan dizide tanımsızlık oluşmaz.
5
Geçerli kk değerleri için 2−k2 - k ifadesinin alacağı değerleri hesaplayıp toplayın.
k=−5  ⟹  2−(−5)=7k = -5 \implies 2 - (-5) = 7 ve k=−7  ⟹  2−(−7)=9k = -7 \implies 2 - (-7) = 9 bulunur. Toplamları ise 7+9=167 + 9 = 16'dır.
Soruda istenen x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamını bulmak.

Key Concept

Dizilerin tanım kümesi gereği pozitif tam sayılarda her teriminin tanımlı olma zorunluluğu ve rasyonel sabit dizilerde katsayı ilişkisi
Rate this question

Topics

Sabit ve Eşit Diziler

More questions from this topic