Her n \in \mathbb{Z}^+ için (a_n) ve (b_n) dizileri a_n = \sum_{i=1}^{n} \log_3\left(1 - \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Her $n \in \mathbb{Z}^+$ için $(a_n)$ ve $(b_n)$ dizileri

a_n = \sum_{i=1}^{n} \log_3\left(1 - \frac{2}{(i+1)(i+2)}\right)

b_n = \log_9\left( \frac{n^2 + A \cdot n + B}{9n^2 + C \cdot n + 9} \right)

genel terimleriyle tanımlanıyor.

$(a_n)$ ve $(b_n)$ eşit diziler olduğuna göre, $A + B + C$ toplamının değeri kaçtır?

Answer: 33

Answer

Dizilerin eşitliği koşulundan yararlanılarak A + B + C toplamı 33 olarak bulunur.

Logaritmik terimlerin toplamı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirilip taban eşitlemesi uygulandığında genel terimi veren ifade elde edilir. Bu ifade diğer diziyle eşitlendiğinde katsayılar belirlenir ve toplamları hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Genel terimdeki logaritma argümanını rasyonel biçimde düzenleme.

\frac{i(i+3)}{(i+1)(i+2)}

Logaritmik toplamın sadeleştirilebilir bir çarpım yapısına dönüştürülmesi hedeflenir.

Teleskopik çarpım sadeleştirmesiyle toplamı hesaplama.

a_n = \log_3\left(\frac{n+3}{3n+3}\right)

Logaritmaların toplamı, içlerinin çarpımına eşittir. Çarpım açılıp sadeleştirildiğinde genel terim tek bir logaritmik ifadeye indirgenir.

Taban eşitleme kuralı uygulanarak tabanın 9 yapılması.

a_n = \log_9\left(\frac{n^2 + 6n + 9}{9n^2 + 18n + 9}\right)

b_n

dizisinin logaritma tabanı 9 olduğu için

a_n

dizisi ile doğrudan karşılaştırma yapılabilmesi amacıyla tabanlar eşitlenir.

İki dizinin eşitliğinden yararlanarak katsayıların karşılaştırılması.

A = 6, B = 9, C = 18

Her n pozitif tam sayısı için iki ifadenin rasyonel kısımları özdeş olmalıdır.

Bilinmeyenlerin toplanması.

33

Soru kökünde istenen A + B + C toplamı hesaplanır.

Key Concept

İki dizinin eşit olması için tanım kümelerindeki her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin değerleri eşit olmalıdır.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic